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Calculadora de Integrales por fracciones parciales

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Integrales por fracciones parciales paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. ¡Puedes encontrar todas nuestras calculadoras en línea aquí!

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asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Ejemplo resuelto de integrales por fracciones parciales

$\int\frac{1}{x\left(x+1\right)}dx$
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Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{1}{x\left(x+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$
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Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $x\left(x+1\right)$

$1=x\left(x+1\right)\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}\right)$
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Multiplicando polinomios

$1=\frac{xA\left(x+1\right)}{x}+\frac{xB\left(x+1\right)}{x+1}$
5

Simplificando

$1=A\left(x+1\right)+xB$
6

Expandir el polinomio

$1=Ax+A+xB$
7

Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}1=A&\:\:\:\:\:\:\:(x=0) \\ 1=-B&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1)\end{matrix}$
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Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix}1A & + & 0B & =1 \\ 0A & - & 1B & =1\end{matrix}$
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Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{matrix}\right)$
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Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{matrix}\right)$
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La integral de $\frac{1}{x\left(x+1\right)}$ en forma descompuesta equivale a

$\int\left(\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}\right)dx$
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Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}\right)dx$

$\int\frac{1}{x}dx+\int\frac{-1}{x+1}dx$
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Podemos resolver la integral $\int\frac{-1}{x+1}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x+1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=x+1$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=x+1$

$du=\frac{d}{dx}\left(x+1\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dx}\left(x+1\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$1$
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Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=dx$
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Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{1}{x}dx+\int\frac{-1}{u}du$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$\ln\left|x\right|$
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La integral $\int\frac{1}{x}dx$ da como resultado: $\ln\left|x\right|$

$\ln\left|x\right|$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$-\ln\left|u\right|$
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La integral $\int\frac{-1}{u}du$ da como resultado: $-\ln\left|u\right|$

$-\ln\left|u\right|$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\ln\left|x\right|-\ln\left|u\right|$

$\ln\left|x\right|-\ln\left|x+1\right|$
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Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x+1$

$\ln\left|x\right|-\ln\left|x+1\right|$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\ln\left|x\right|-\ln\left|x+1\right|+C_0$

Respuesta Final

$\ln\left|x\right|-\ln\left|x+1\right|+C_0$

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