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Calculadora de Integrales por fracciones parciales

Obtén soluciones paso a paso a tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora en línea. Agudiza tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Puedes encontrar más calculadoras aquí.

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tan
cot
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asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

1

Ejemplo

$\int\frac{2x-1}{x^2-8x+15}dx$
2

Factorizar el trinomio $15-8x+x^2$ encontrando dos números cuyo producto sea $15$ y cuya suma sea $-8$

$\begin{matrix}\left(-5\right)\left(-3\right)=15\\ \left(-5\right)+\left(-3\right)=-8\end{matrix}$
3

Por lo tanto

$\int\frac{2x-1}{\left(x-3\right)\left(x-5\right)}dx$
4

La fracción $\frac{2x-1}{\left(x-3\right)\left(x-5\right)}$ se puede descomponer en

$\frac{2x-1}{\left(x-3\right)\left(x-5\right)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-5}$
5

Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la igualdad por $\left(x-3\right)\left(x-5\right)$

$2x-1=\left(\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-5}\right)\left(x-3\right)\left(x-5\right)$
6

Multiplicando polinomios

$2x-1=\frac{A\left(x-3\right)\left(x-5\right)}{x-3}+\frac{B\left(x-3\right)\left(x-5\right)}{x-5}$
7

Simplificando

$2x-1=A\left(x-5\right)+B\left(x-3\right)$
8

Expandir el polinomio

$2x-1=A\left(x-5\right)+B\left(x-3\right)$
9

Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}-7=-6B-8A&\:\:\:\:\:\:\:(x=-3) \\ 5=-2A&\:\:\:\:\:\:\:(x=3)\end{matrix}$
10

Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix} -8A & - & 6B & =-7 \\ -2A & + & 0B & =5\end{matrix}$
11

Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}-8 & -6 & -7 \\ -2 & 0 & 5\end{matrix}\right)$
12

Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & -\frac{5}{2} \\ 0 & 1 & \frac{9}{2}\end{matrix}\right)$
13

La integral descompuesta equivale a

$\int\left(\frac{-\frac{5}{2}}{x-3}+\frac{\frac{9}{2}}{x-5}\right)dx$
14

La integral de la suma de dos o más términos se puede reescribir como la integral de cada término por separado

$\int\frac{-\frac{5}{2}}{x-3}dx+\int\frac{\frac{9}{2}}{x-5}dx$
15

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{b+x}dx$$=n\ln\left|b+x\right|$, donde $b=-3$ y $n=-\frac{5}{2}$

$\int\frac{\frac{9}{2}}{x-5}dx-\frac{5}{2}\ln\left|x-3\right|$
16

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{b+x}dx$$=n\ln\left|b+x\right|$, donde $b=-5$ y $n=\frac{9}{2}$

$\frac{9}{2}\ln\left|x-5\right|-\frac{5}{2}\ln\left|x-3\right|$
17

Por último, añadimos la constante de integración

$-\frac{5}{2}\ln\left|x-3\right|+\frac{9}{2}\ln\left|x-5\right|+C_0$