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Calculadora de Integrales por fracciones parciales

Obtén soluciones a tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Integrales por fracciones parciales paso a paso. Agudiza tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Puedes encontrar más calculadoras en línea aquí.

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Ejemplo resuelto de Integrales por fracciones parciales

$\int\:\frac{-x^2+8x^2-9x+2}{\left(x^2+1\right)\left(x-3\right)^2}dx$
2

Sumando $-1x^2$ y $8x^2$

$\int\frac{-9x+2+7x^2}{\left(x-3\right)^2\left(x^2+1\right)}dx$
3

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{-9x+2+7x^2}{\left(x-3\right)^2\left(x^2+1\right)}$ en $3$ fracciones más simples

$\frac{-9x+2+7x^2}{\left(x-3\right)^2\left(x^2+1\right)}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{C}{\left(x-3\right)^2}+\frac{D}{x-3}$
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Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la igualdad por $\left(x-3\right)^2\left(x^2+1\right)$

$-9x+2+7x^2=\left(x-3\right)^2\left(x^2+1\right)\left(\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{C}{\left(x-3\right)^2}+\frac{D}{x-3}\right)$
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Multiplicando polinomios

$-9x+2+7x^2=\frac{\left(x-3\right)^2\left(x^2+1\right)\left(Ax+B\right)}{x^2+1}+\frac{C\left(x-3\right)^2\left(x^2+1\right)}{\left(x-3\right)^2}+\frac{D\left(x-3\right)^2\left(x^2+1\right)}{x-3}$
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Simplificando

$-9x+2+7x^2=\left(x-3\right)^2\left(Ax+B\right)+C\left(x^2+1\right)+\frac{D\left(x-3\right)^2\left(x^2+1\right)}{x-3}$
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Expandir el polinomio

$-9x+2+7x^2=\left(x-3\right)^2\left(Ax+B\right)+C\left(x^2+1\right)+\frac{D\left(x-3\right)^2\left(x^2+1\right)}{x-3}$
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Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}18=16\left(-A+B\right)+2C-8D&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1) \\ 0=4\left(A+B\right)+2C-4D&\:\:\:\:\:\:\:(x=1) \\ 92=36\left(-3A+B\right)+10C-60D&\:\:\:\:\:\:\:(x=-3) \\ 38=\frac{0}{0}+10C&\:\:\:\:\:\:\:(x=3)\end{matrix}$
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Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix} -1A & + & 1B & + & 2C & - & 8D & =18 \\ 1A & + & 1B & + & 2C & - & 4D & =0 \\ -3A & + & 1B & + & 10C & - & 60D & =92 \\ 0A & + & 0B & + & 10C & + & 0D & =38\end{matrix}$
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Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}-1 & 1 & 2 & -8 & 18 \\ 1 & 1 & 2 & -4 & 0 \\ -3 & 1 & 10 & -60 & 92 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & 38\end{matrix}\right)$
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Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & -7.9333 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{9}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{19}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{8}{15}\end{matrix}\right)$
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La integral descompuesta equivale a

$\int\left(\frac{-7.9333x-\frac{9}{5}}{x^2+1}+\frac{\frac{19}{5}}{\left(x-3\right)^2}+\frac{-\frac{8}{15}}{x-3}\right)dx$
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La integral de la suma de dos o más términos se puede reescribir como la integral de cada término por separado

$\int\frac{-7.9333x-\frac{9}{5}}{x^2+1}dx+\int\frac{\frac{19}{5}}{\left(x-3\right)^2}dx+\int\frac{-\frac{8}{15}}{x-3}dx$
14

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=n\ln\left|x+b\right|$, donde $b=-3$ y $n=-\frac{8}{15}$

$\int\frac{-7.9333x-\frac{9}{5}}{x^2+1}dx+\int\frac{\frac{19}{5}}{\left(x-3\right)^2}dx-\frac{8}{15}\ln\left|x-3\right|$
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Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{\left(x+a\right)^c}dx$$=\frac{-n}{\left(x+a\right)^{\left(c-1\right)}\left(c-1\right)}$, donde $a=-3$, $c=2$ y $n=\frac{19}{5}$

$\int\frac{-7.9333x-\frac{9}{5}}{x^2+1}dx+\frac{-\frac{19}{5}}{x-3}-\frac{8}{15}\ln\left|x-3\right|$
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Separar la fracción $\frac{-7.9333x+-\frac{9}{5}}{x^2+1}$ en dos términos con mismo denominador

$\int\left(\frac{-7.9333x}{x^2+1}+\frac{-\frac{9}{5}}{x^2+1}\right)dx+\frac{-\frac{19}{5}}{x-3}-\frac{8}{15}\ln\left|x-3\right|$
17

La integral de la suma de dos o más términos se puede reescribir como la integral de cada término por separado

$\int\frac{-7.9333x}{x^2+1}dx+\int\frac{-\frac{9}{5}}{x^2+1}dx+\frac{-\frac{19}{5}}{x-3}-\frac{8}{15}\ln\left|x-3\right|$
18

Sacar la parte constante de la integral

$-7.9333\int\frac{x}{x^2+1}dx+\int\frac{-\frac{9}{5}}{x^2+1}dx+\frac{-\frac{19}{5}}{x-3}-\frac{8}{15}\ln\left|x-3\right|$
19

Sacar la parte constante de la integral

$-7.9333\int\frac{x}{x^2+1}dx-\frac{9}{5}\int\frac{1}{1+x^2}dx+\frac{-\frac{19}{5}}{x-3}-\frac{8}{15}\ln\left|x-3\right|$
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Podemos resolver la integral aplicando la fórmula $\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$

$-7.9333\int\frac{x}{x^2+1}dx-\frac{9}{5}arctan\left(x\right)+\frac{-\frac{19}{5}}{x-3}-\frac{8}{15}\ln\left|x-3\right|$
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Podemos resolver la integral $\int\frac{x}{x^2+1}dx$ aplicando un cambio de variable. Sean $u$ y $du$

$\begin{matrix}u=x^2+1 \\ du=\left(2x+0\right)dx\end{matrix}$
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Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{\left(2x+0\right)}=dx$
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Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$-7.9333\int\frac{1}{2u}du-\frac{9}{5}arctan\left(x\right)+\frac{-\frac{19}{5}}{x-3}-\frac{8}{15}\ln\left|x-3\right|$
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Sacar la parte constante de la integral

$-3.9667\int\frac{1}{u}du-\frac{9}{5}arctan\left(x\right)+\frac{-\frac{19}{5}}{x-3}-\frac{8}{15}\ln\left|x-3\right|$
25

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$-3.9667\ln\left|u\right|-\frac{9}{5}arctan\left(x\right)+\frac{-\frac{19}{5}}{x-3}-\frac{8}{15}\ln\left|x-3\right|$
26

Resustituyendo $u$ por su valor, $x^2+1$

$-3.9667\ln\left|x^2+1\right|-\frac{9}{5}arctan\left(x\right)+\frac{-\frac{19}{5}}{x-3}-\frac{8}{15}\ln\left|x-3\right|$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar debemos añadir la constante de integración

$-3.9667\ln\left|x^2+1\right|-\frac{9}{5}arctan\left(x\right)+\frac{-\frac{19}{5}}{x-3}-\frac{8}{15}\ln\left|x-3\right|+C_0$