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Calculadora de Integrales por Cambio de Variable

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atanh
acoth
asech
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Ejemplo resuelto de integrales por cambio de variable

$\int\left(x\cdot\cos\left(2x^2+3\right)\right)dx$
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Podemos resolver la integral $\int x\cos\left(2x^2+3\right)dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x^2+3$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2x^2+3$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=2x^2+3$

$du=\frac{d}{dx}\left(2x^2+3\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dx}\left(2x^2+3\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(2x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(3\right)$

La derivada de la función constante ($3$) es igual a cero

$\frac{d}{dx}\left(2x^2\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante por la derivada de la función

$2\frac{d}{dx}\left(x^2\right)$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$4x$
3

Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=4xdx$

4

Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{4x}=dx$

Simplificar la fracción $\frac{x\cos\left(u\right)}{4x}$ por $x$

$\int\frac{\cos\left(u\right)}{4}du$
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Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{\cos\left(u\right)}{4}du$
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Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral

$\frac{1}{4}\int\cos\left(u\right)du$
7

Dividir $1$ entre $4$

$\frac{1}{4}\int\cos\left(u\right)du$
8

La integral del coseno de una función es igual al seno de la misma función, en otras palabras: $\int\cos(x)dx=\sin(x)$

$\frac{1}{4}\sin\left(u\right)$

$\frac{1}{4}\sin\left(2x^2+3\right)$
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Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x^2+3$

$\frac{1}{4}\sin\left(2x^2+3\right)$
10

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{4}\sin\left(2x^2+3\right)+C_0$

Respuesta Final

$\frac{1}{4}\sin\left(2x^2+3\right)+C_0$

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