Calculadora de Integración por Sustitución de Weierstrass

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(◻)

◻/◻

◻²

◻^◻

√◻

√

^◻√◻

^◻√

∞

log

log_◻

lim

d/dx

D^□_x

∫

∫^◻

|◻|

sin

cos

tan

cot

sec

csc

asin

acos

atan

acot

asec

acsc

sinh

cosh

tanh

coth

sech

csch

asinh

acosh

atanh

acoth

asech

acsch

 Ejercicios Difíciles

Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de integración por sustitución de weierstrass. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:

$\int\frac{1}{1-cos\left(x\right)+sin\left(x\right)}dx$

Podemos resolver la integral $\int \frac{1}{1-\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución

$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

Por lo tanto

$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{y}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int \frac{1}{1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Multiplicando fracciones $\frac{1}{1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}} \times \frac{2}{1+t^{2}}$

$\int \frac{2}{\left(1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$

Multiplicando la fracción por $-1$

$\int \frac{2}{\left(1+\frac{-1+t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$

Combinar las fracciones con denominador común $1+t^{2}$

$\int \frac{2}{\left(1+\frac{-1+t^{2}+2t}{1+t^{2}}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$

Combinar $1+\frac{-1+t^{2}+2t}{1+t^{2}}$ en una sola fracción

$\int \frac{2}{\frac{2t^{2}+2t}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}dt$

Dividir las fracciones $\frac{2}{\frac{2t^{2}+2t}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$

$\int \frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2t^{2}+2t\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$

Simplificar la fracción $\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2t^{2}+2t\right)\left(1+t^{2}\right)}$ por $1+t^{2}$

$\int \frac{2}{2t^{2}+2t}dt$

Factorizar el denominador por $2$

$\int \frac{2}{2\left(t^{2}+t\right)}dt$

Cancelar el factor común $2$ de la fracción

$\int \frac{1}{t^{2}+t}dt$

Simplificando

$\int \frac{1}{t^{2}+t}dt$

Factoizar el polinomio $t^{2}+t$ por su máximo común divisor (MCD): $t$

$\frac{1}{t\left(t+1\right)}$

Reescribir la expresión $\frac{1}{t^{2}+t}$ que está dentro de la integral en forma factorizada

$\int \frac{1}{t\left(t+1\right)}dt$

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{1}{t\left(t+1\right)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1}$

Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $t\left(t+1\right)$

$1=t\left(t+1\right)\left(\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1}\right)$

Multiplicando polinomios

$1=\frac{t\left(t+1\right)A}{t}+\frac{t\left(t+1\right)B}{t+1}$

Simplificando

$1=\left(t+1\right)A+tB$

Asignando valores a $t$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}1=A&\:\:\:\:\:\:\:(t=0) \\ 1=-B&\:\:\:\:\:\:\:(t=-1)\end{matrix}$

Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix}1A & + & 0B & =1 \\ 0A & - & 1B & =1\end{matrix}$

Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{matrix}\right)$

Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{matrix}\right)$

La integral de $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ en forma descompuesta equivale a

$\frac{1}{t}+\frac{-1}{t+1}$

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{1}{t}+\frac{-1}{t+1}$

Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{t}+\frac{-1}{t+1}\right)dt$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$\int \frac{1}{t}dt+\int \frac{-1}{t+1}dt$

Podemos resolver la integral $\int \frac{-1}{t+1}dt$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $t+1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=t+1$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=t+1$

$du=\frac{d}{dt}\left(t+1\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dt}\left(t+1\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dt}\left(t\right)+\frac{d}{dt}\left(1\right)$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{d}{dt}\left(t\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$1$

Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=dt$

Sustituimos $u$ y $dt$ en la integral y luego simplificamos

$\int \frac{1}{t}dt+\int \frac{-1}{u}du$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$\ln\left|t\right|$

La integral $\int \frac{1}{t}dt$ da como resultado: $\ln\left(t\right)$

$\ln\left(t\right)$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$-\ln\left|u\right|$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $t+1$

$-\ln\left|t+1\right|$

La integral $\int \frac{-1}{u}du$ da como resultado: $-\ln\left(t+1\right)$

$-\ln\left(t+1\right)$

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\ln\left|t\right|-\ln\left|t+1\right|$

Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

$\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|-\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1\right|$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|-\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1\right|+C_0$

 Respuesta final al problema

$\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|-\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1\right|+C_0$

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