Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de integración por sustitución de weierstrass. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{1-\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución
Por lo tanto
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Multiplicando fracciones $\frac{1}{1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{2t}{1+t^{2}}} \times \frac{2}{1+t^{2}}$
Multiplicando la fracción por $-1$
Combinar las fracciones con denominador común $1+t^{2}$
Combinar $1+\frac{-1+t^{2}+2t}{1+t^{2}}$ en una sola fracción
Dividir las fracciones $\frac{2}{\frac{2t^{2}+2t}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$
Simplificar la fracción $\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2t^{2}+2t\right)\left(1+t^{2}\right)}$ por $1+t^{2}$
Factorizar el denominador por $2$
Cancelar el factor común $2$ de la fracción
Simplificando
Factoizar el polinomio $t^{2}+t$ por su máximo común divisor (MCD): $t$
Reescribir la expresión $\frac{1}{t^{2}+t}$ que está dentro de la integral en forma factorizada
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ en $2$ fracciones más simples
Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $t\left(t+1\right)$
Multiplicando polinomios
Simplificando
Asignando valores a $t$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales
Reescribimos los coeficientes en forma de matriz
Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan
La integral de $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ en forma descompuesta equivale a
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ en $2$ fracciones más simples
Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{t}+\frac{-1}{t+1}\right)dt$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
Podemos resolver la integral $\int\frac{-1}{t+1}dt$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $t+1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Derivar ambos lados de la ecuación $u=t+1$
Encontrar la derivada
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $u$ y $dt$ en la integral y luego simplificamos
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
La integral $\int\frac{1}{t}dt$ da como resultado: $\ln\left(t\right)$
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $t+1$
La integral $\int\frac{-1}{u}du$ da como resultado: $-\ln\left(t+1\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
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