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Calculadora de Integración por Sustitución de Weierstrass

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Integración por Sustitución de Weierstrass paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. ¡Puedes encontrar todas nuestras calculadoras en línea aquí!

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acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Ejemplo resuelto de integración por sustitución de weierstrass

$\int\frac{1}{1-cos\left(x\right)+sin\left(x\right)}dx$
2

Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{1-\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución

$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
3

Por lo tanto

$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{y}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$
4

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{1}{1-\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)+\frac{2t}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Combinar $1-\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)+\frac{2t}{1+t^{2}}$ en una sola fracción

$\int\frac{1}{\frac{2t+1+t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{-\left(1-t^{2}\right)}{1+t^{2}}}\frac{2}{1+t^{2}}dt$

Multiplicando fracciones $\frac{1}{\frac{2t+1+t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{-\left(1-t^{2}\right)}{1+t^{2}}} \times \frac{2}{1+t^{2}}$

$\int\frac{2}{\left(\frac{2t+1+t^{2}}{1+t^{2}}+\frac{-\left(1-t^{2}\right)}{1+t^{2}}\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$

Sumar los numeradores de las fracciones con denominadores comunes: $\frac{2t+1+t^{2}}{1+t^{2}}$ y $\frac{-\left(1-t^{2}\right)}{1+t^{2}}$

$\int\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2t^{2}+2t\right)\left(1+t^{2}\right)}dt$

Simplificar la fracción $\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2t^{2}+2t\right)\left(1+t^{2}\right)}$ por $1+t^{2}$

$\int\frac{2}{2t^{2}+2t}dt$

Factorizar el denominador por $2$

$\int\frac{2}{2\left(t^{2}+t\right)}dt$

Cancelar el factor común $2$

$\int\frac{1}{t^{2}+t}dt$
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Simplificando

$\int\frac{1}{t^{2}+t}dt$
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Factoizar el polinomio $t^{2}+t$ por su GCF: $t$

$\int\frac{1}{t\left(t+1\right)}dt$
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Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{1}{t\left(t+1\right)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1}$
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Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $t\left(t+1\right)$

$1=t\left(t+1\right)\left(\frac{A}{t}+\frac{B}{t+1}\right)$
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Multiplicando polinomios

$1=\frac{tA\left(t+1\right)}{t}+\frac{tB\left(t+1\right)}{t+1}$
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Simplificando

$1=A\left(t+1\right)+tB$
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Expandir el polinomio

$1=At+A+tB$
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Asignando valores a $t$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}1=A&\:\:\:\:\:\:\:(t=0) \\ 1=-B&\:\:\:\:\:\:\:(t=-1)\end{matrix}$
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Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix}1A & + & 0B & =1 \\ 0A & - & 1B & =1\end{matrix}$
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Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{matrix}\right)$
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Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{matrix}\right)$
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La integral de $\frac{1}{t\left(t+1\right)}$ en forma descompuesta equivale a

$\int\left(\frac{1}{t}+\frac{-1}{t+1}\right)dt$
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Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{t}+\frac{-1}{t+1}\right)dt$

$\int\frac{1}{t}dt+\int\frac{-1}{t+1}dt$
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Podemos resolver la integral $\int\frac{-1}{t+1}dt$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $t+1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=t+1$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=t+1$

$du=\frac{d}{dt}\left(t+1\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dt}\left(t+1\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado

$\frac{d}{dt}\left(t\right)+\frac{d}{dt}\left(1\right)$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{d}{dt}\left(t\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$1$
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Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=dt$
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Sustituimos $u$ y $dt$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{1}{t}dt+\int\frac{-1}{u}du$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$\ln\left|t\right|$
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La integral $\int\frac{1}{t}dt$ da como resultado: $\ln\left|t\right|$

$\ln\left|t\right|$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$-\ln\left|u\right|$
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La integral $\int\frac{-1}{u}du$ da como resultado: $-\ln\left|u\right|$

$-\ln\left|u\right|$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\ln\left|t\right|-\ln\left|u\right|$

$\ln\left|t\right|-\ln\left|t+1\right|$
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Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $t+1$

$\ln\left|t\right|-\ln\left|t+1\right|$
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Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

$\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|-\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1\right|$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|-\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1\right|+C_0$

Respuesta Final

$\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|-\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)+1\right|+C_0$

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