Ejemplo resuelto de integrales trigonométricas
Aplicando una identidad trigonométrica del seno para la reducción del exponente: $\displaystyle\sin(\theta)=\sqrt{\frac{1-\cos(2\theta)}{2}}$
Dividir $4$ entre $2$
Aplicando una identidad trigonométrica del seno para la reducción del exponente: $\displaystyle\sin(\theta)=\sqrt{\frac{1-\cos(2\theta)}{2}}$
Cuadrado del primer término: $\left(1\right)^2 = 1^2$.
Dos veces el primero por el segundo: $2\left(1\right)\left(-\cos\left(2x\right)\right) = 2\cdot 1\left(-\cos\left(2x\right)\right)$.
Cuadrado del segundo término: $\left(-\cos\left(2x\right)\right)^2 = \left(-\cos\left(2x\right)\right)^2$
Expandir $\left(1-\cos\left(2x\right)\right)^{2}$
Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral
Dividir $1$ entre $4$
Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral
Expandir la integral $\int\left(1-2\cos\left(2x\right)+\cos\left(2x\right)^2\right)dx$ en $3$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
La integral $\frac{1}{4}\int1dx$ da como resultado: $\frac{1}{4}x$
La integral de una función multiplicada por una constante ($-2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Aplicamos la regla: $\int\cos\left(ax\right)dx$$=\frac{1}{a}\sin\left(ax\right)+C$, donde $a=2$
La integral $\frac{1}{4}\int-2\cos\left(2x\right)dx$ da como resultado: $-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)$
Multiplicar el término $\frac{1}{8}$ por cada término del polinomio $\left(x+\frac{1}{4}\sin\left(4x\right)\right)$
Podemos resolver la integral $\int\cos\left(2x\right)^2dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Aplicamos la regla: $\int\cos\left(x\right)^2dx$$=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)+C$, donde $x=u$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$
La integral $\frac{1}{4}\int\cos\left(2x\right)^2dx$ da como resultado: $\frac{1}{8}x+\frac{1}{32}\sin\left(4x\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Reduciendo términos semejantes $\frac{1}{4}x$ y $\frac{1}{8}x$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
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