Ejemplo resuelto de integrales trigonométricas
Aplicando una identidad trigonométrica del seno para la reducción del exponente: $\displaystyle\sin(\theta)=\sqrt{\frac{1-\cos(2\theta)}{2}}$
Aplicando la propiedad de la potencia de un cociente: $\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$
Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral
Dividir $1$ entre $4$
Un binomio al cuadrado (resta) es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. En otras palabras: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Reescribir el integrando $\left(1-\cos\left(2x\right)\right)^{2}$ en forma expandida
Expandir la integral $\int\left(1-2\cos\left(2x\right)+\cos\left(2x\right)^2\right)dx$ en $3$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
La integral $\frac{1}{4}\int1dx$ da como resultado: $\frac{1}{4}x$
La integral de una función multiplicada por una constante ($-2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Aplicamos la regla: $\int\cos\left(ax\right)dx$$=\frac{1}{a}\sin\left(ax\right)+C$, donde $a=2$
Simplificamos la expresión dentro de la integral
La integral $\frac{1}{4}\int-2\cos\left(2x\right)dx$ da como resultado: $-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)$
Multiplicar el término $\frac{1}{8}$ por cada término del polinomio $\left(x+\frac{1}{4}\sin\left(4x\right)\right)$
Podemos resolver la integral $\int\cos\left(2x\right)^2dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Simplificamos la expresión dentro de la integral
Aplicamos la regla: $\int\cos\left(x\right)^2dx$$=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)+C$, donde $x=u$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$
Multiplicar $2$ por $2$
La integral $\frac{1}{4}\int\cos\left(2x\right)^2dx$ da como resultado: $\frac{1}{8}x+\frac{1}{32}\sin\left(4x\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Reduciendo términos semejantes $\frac{1}{4}x$ y $\frac{1}{8}x$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
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