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Calculadora de Integrales Trigonométricas

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Integrales Trigonométricas paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Encuentra todas nuestras calculadoras aquí.

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atanh
acoth
asech
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1

Ejemplo resuelto de integrales trigonométricas

$\int\sin\left(x\right)^4dx$
2

Aplicando una identidad trigonométrica del seno para la reducción del exponente: $\displaystyle\sin(\theta)=\sqrt{\frac{1-\cos(2\theta)}{2}}$

$\int\left(\frac{1-\cos\left(2x\right)}{2}\right)^{2}dx$
3

Aplicando la propiedad de la potencia de un cociente: $\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

$\int\frac{\left(1-\cos\left(2x\right)\right)^{2}}{4}dx$

4

Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral

$\frac{1}{4}\int\left(1-\cos\left(2x\right)\right)^{2}dx$
5

Dividir $1$ entre $4$

$\frac{1}{4}\int\left(1-\cos\left(2x\right)\right)^{2}dx$

Un binomio al cuadrado (resta) es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. En otras palabras: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$1-2\cos\left(2x\right)+\cos\left(2x\right)^2$
6

Reescribir el integrando $\left(1-\cos\left(2x\right)\right)^{2}$ en forma expandida

$\frac{1}{4}\int\left(1-2\cos\left(2x\right)+\cos\left(2x\right)^2\right)dx$
7

Expandir la integral $\int\left(1-2\cos\left(2x\right)+\cos\left(2x\right)^2\right)dx$ en $3$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$\frac{1}{4}\int1dx+\frac{1}{4}\int-2\cos\left(2x\right)dx+\frac{1}{4}\int\cos\left(2x\right)^2dx$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$\frac{1}{4}x$
8

La integral $\frac{1}{4}\int1dx$ da como resultado: $\frac{1}{4}x$

$\frac{1}{4}x$

La integral de una función multiplicada por una constante ($-2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-\frac{1}{2}\int\cos\left(2x\right)dx$

Aplicamos la regla: $\int\cos\left(ax\right)dx$$=\frac{1}{a}\sin\left(ax\right)+C$, donde $a=2$

$-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(2x\right)$

Simplificamos la expresión dentro de la integral

$-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)$
9

La integral $\frac{1}{4}\int-2\cos\left(2x\right)dx$ da como resultado: $-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)$

$-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)$
10

Multiplicar el término $\frac{1}{8}$ por cada término del polinomio $\left(x+\frac{1}{4}\sin\left(4x\right)\right)$

$\frac{1}{8}x+\frac{1}{32}\sin\left(4x\right)$

Podemos resolver la integral $\int\cos\left(2x\right)^2dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2x$

Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2dx$

Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$du=2dx$

Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\frac{1}{4}\int\frac{\cos\left(u\right)^2}{2}du$

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{4}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\int\cos\left(u\right)^2du$

Simplificamos la expresión dentro de la integral

$\frac{1}{8}\int\cos\left(u\right)^2du$

Aplicamos la regla: $\int\cos\left(x\right)^2dx$$=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)+C$, donde $x=u$

$\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}\sin\left(2u\right)\right)$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$

$\frac{1}{8}\left(x+\frac{1}{4}\sin\left(2\cdot 2x\right)\right)$

Multiplicar $2$ por $2$

$\frac{1}{8}\left(x+\frac{1}{4}\sin\left(4x\right)\right)$
11

La integral $\frac{1}{4}\int\cos\left(2x\right)^2dx$ da como resultado: $\frac{1}{8}x+\frac{1}{32}\sin\left(4x\right)$

$\frac{1}{8}x+\frac{1}{32}\sin\left(4x\right)$
12

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)+\frac{1}{32}\sin\left(4x\right)+\frac{1}{8}x$
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Reduciendo términos semejantes $\frac{1}{4}x$ y $\frac{1}{8}x$

$\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)+\frac{1}{32}\sin\left(4x\right)$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)+\frac{1}{32}\sin\left(4x\right)+C_0$

Respuesta Final

$\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)+\frac{1}{32}\sin\left(4x\right)+C_0$

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