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Calculadora de Integrales Trigonométricas

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atanh
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asech
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Ejemplo resuelto de integrales trigonométricas

$\int\sin\left(x\right)^4dx$

Aplicando una identidad trigonométrica del seno para la reducción del exponente: $\displaystyle\sin(\theta)=\sqrt{\frac{1-\cos(2\theta)}{2}}$

$\int\left(\frac{1-\cos\left(2x\right)}{2}\right)^{\frac{4}{2}}dx$

Dividir $4$ entre $2$

$\int\left(\frac{1-\cos\left(2x\right)}{2}\right)^{2}dx$

Aplicando la propiedad de la potencia de un cociente: $\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

$\int\frac{\left(1-\cos\left(2x\right)\right)^{2}}{4}dx$
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Aplicando una identidad trigonométrica del seno para la reducción del exponente: $\displaystyle\sin(\theta)=\sqrt{\frac{1-\cos(2\theta)}{2}}$

$\int\frac{\left(1-\cos\left(2x\right)\right)^{2}}{4}dx$

Expandir $\left(1-\cos\left(2x\right)\right)^{2}$

$\int\frac{1^2+2\cdot 1\left(-1\right)\cos\left(2x\right)+\left(-\cos\left(2x\right)\right)^2}{4}dx$

Multiplicar $2$ por $1$

$\int\frac{1^2+2\left(-1\right)\cos\left(2x\right)+\left(-\cos\left(2x\right)\right)^2}{4}dx$

Calcular la potencia $1^2$

$\int\frac{1+2\left(-1\right)\cos\left(2x\right)+\left(-\cos\left(2x\right)\right)^2}{4}dx$

Simplificar $\left(-\cos\left(2x\right)\right)^2$

$\int\frac{1-2\cos\left(2x\right)+\cos\left(2x\right)^2}{4}dx$
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Expandir $\left(1-\cos\left(2x\right)\right)^{2}$

$\int\frac{1-2\cos\left(2x\right)+\cos\left(2x\right)^2}{4}dx$

Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral

$\frac{1}{4}\int\left(1-2\cos\left(2x\right)+\cos\left(2x\right)^2\right)dx$

Dividir $1$ entre $4$

$\frac{1}{4}\int\left(1-2\cos\left(2x\right)+\cos\left(2x\right)^2\right)dx$
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Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral

$\frac{1}{4}\int\left(1-2\cos\left(2x\right)+\cos\left(2x\right)^2\right)dx$
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Expandir la integral $\int\left(1-2\cos\left(2x\right)+\cos\left(2x\right)^2\right)dx$ en $3$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$\frac{1}{4}\int1dx+\frac{1}{4}\int-2\cos\left(2x\right)dx+\frac{1}{4}\int\cos\left(2x\right)^2dx$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$\frac{1}{4}x$
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La integral $\frac{1}{4}\int1dx$ da como resultado: $\frac{1}{4}x$

$\frac{1}{4}x$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-\frac{1}{2}\int\cos\left(2x\right)dx$

Aplicamos la regla: $\int\cos\left(ax\right)dx$$=\frac{1}{a}\sin\left(ax\right)$, donde $a=2$

$-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)$
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La integral $\frac{1}{4}\int-2\cos\left(2x\right)dx$ da como resultado: $-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)$

$-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)$
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Multiplicar el término $\frac{1}{8}$ por cada término del polinomio $\left(x+\frac{1}{4}\sin\left(4x\right)\right)$

$\frac{1}{8}x+\frac{1}{32}\sin\left(4x\right)$

Podemos resolver la integral $\int\cos\left(2x\right)^2dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2x$

Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2dx$

Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{2}=dx$

Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\frac{1}{4}\int\frac{\cos\left(u\right)^2}{2}du$

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{8}\int\cos\left(u\right)^2du$

Aplicamos la regla: $\int\cos\left(x\right)^2dx$$=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)$, donde $x=u$

$\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}\sin\left(2u\right)\right)$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$

$\frac{1}{8}\left(x+\frac{1}{4}\sin\left(4x\right)\right)$
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La integral $\frac{1}{4}\int\cos\left(2x\right)^2dx$ da como resultado: $\frac{1}{8}x+\frac{1}{32}\sin\left(4x\right)$

$\frac{1}{8}x+\frac{1}{32}\sin\left(4x\right)$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)+\frac{1}{32}\sin\left(4x\right)+\frac{1}{8}x$
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Reduciendo términos semejantes $\frac{1}{4}x$ y $\frac{1}{8}x$

$\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)+\frac{1}{32}\sin\left(4x\right)$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)+\frac{1}{32}\sin\left(4x\right)+C_0$

Respuesta Final

$\frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\sin\left(2x\right)+\frac{1}{32}\sin\left(4x\right)+C_0$

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