Ejemplo resuelto de integrales por sustitución trigonométrica
Podemos resolver la integral $\int\sqrt{x^2+4}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Derivar ambos lados de la ecuación $x=2\tan\left(\theta \right)$
Encontrar la derivada
La derivada de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante por la derivada de la función
La derivada de la tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = tan(x)}$, entonces ${f'(x) = sec^2(x)\cdot D_x(x)}$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Factoizar el polinomio $4\tan\left(\theta \right)^2+4$ por su máximo común divisor (MCD): $4$
Aplicando la regla de potencia de un producto
Aplicando la identidad trigonométrica: $1+\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2$
La integral de una función multiplicada por una constante ($4$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Simplificar $\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$
Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$
Reescribir $\sec\left(\theta \right)^{3}$ como el producto de dos secantes
Podemos resolver la integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
Aplicando la derivada de la función secante: $\frac{d}{dx}\left(\sec(x)\right)=\sec(x)\cdot\tan(x)\cdot D_x(x)$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral
La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$
Al multiplicar dos potencias de igual base ($\tan\left(\theta \right)$), se pueden sumar los exponentes
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Multiplicar el término $4$ por cada término del polinomio $\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
Aplicando la identidad trigonométrica: $\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2-1$
Podemos identificar que la integral es de la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si la potencia $n$ es impar y $m$ es par, entonces debemos expresar todas las funciones en términos de secantes, expandir e integrar por separado
Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)$
Multiplicar el término $\sec\left(\theta \right)$ por cada término del polinomio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Expandir la integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Multiplicando la fracción por el término $4\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$
Resolver el producto $-4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{3-1}+\frac{3-2}{3-1}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
Simplificar la fracción $-4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
La integral $-4\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ da como resultado: $-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x-2\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Reduciendo términos semejantes $\sqrt{x^2+4}x$ y $-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x$
La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
La integral $-4\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $4\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Reduciendo términos semejantes $-2\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right)$ y $4\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right)$
El mínimo común múltiplo (MCM) de una suma de fracciones algebraicas consiste en el producto de los factores comunes con mayor exponente, y los factores no comunes
Combinar y simplificar todos los términos dentro de una misma fracción con $2$ como denominador común
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Simplificar la expresión aplicando propiedades de los logaritmos
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