Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de integrales por sustitución trigonométrica. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
Podemos resolver la integral $\int\sqrt{x^2+4}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Derivar ambos lados de la ecuación $x=2\tan\left(\theta \right)$
Encontrar la derivada
La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función
La derivada de la tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = tan(x)}$, entonces ${f'(x) = sec^2(x)\cdot D_x(x)}$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Aplicando la regla de potencia de un producto
Simplificar $4\tan\left(\theta \right)^2+4$ en términos de la función secante
Aplicando la regla de potencia de un producto
Multiplicar $2$ por $2$
Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $4\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
La integral de una función multiplicada por una constante ($4$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$
Resolver el producto $4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
Simplificar la fracción $4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)$
Aplicando la propiedad de la potencia de un cociente: $\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$
Multiplicando fracciones $\frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \times \frac{x^2+4}{4}$
Simplificar la fracción por $x^2+4$
Multiplicando la fracción por el término $2$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
La integral $2\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $2\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Simplificar la expresión aplicando la propiedad del logaritmo de un cociente
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