Ejemplo resuelto de integrales por sustitución trigonométrica
Podemos resolver la integral $\int\sqrt{x^2+4}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Derivar ambos lados de la ecuación $x=2\tan\left(\theta \right)$
Encontrar la derivada
La derivada de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante por la derivada de la función
La derivada de la tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = tan(x)}$, entonces ${f'(x) = sec^2(x)\cdot D_x(x)}$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Factor the polynomial $4\tan\left(\theta \right)^2+4$ by it's GCF: $4$
The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power
Calculate the power $2^2$
Calcular la potencia $\sqrt{4}$
Multiplicar $2$ por $2$
The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power
Applying the trigonometric identity: $\tan(x)^2+1=\sec(x)^2$
Aplicando la regla de potencia de una potencia
Applying the trigonometric identity: $\tan(x)^2+1=\sec(x)^2$
The integral of a function times a constant ($4$) is equal to the constant times the integral of the function
Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$
Restar los valores $3$ y $-2$
Cualquier expresión elevada a la potencia uno es igual a esa misma expresión
Reescribir $\sec\left(\theta \right)^{3}$ como el producto de dos secantes
Podemos resolver la integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
Aplicando la derivada de la función secante: $\frac{d}{dx}\left(\sec(x)\right)=\sec(x)\cdot\tan(x)\cdot D_x(x)$
Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral
La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$
Al multiplicar dos potencias de igual base ($\tan\left(\theta \right)$), se pueden sumar los exponentes
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Multiplicar el término $4$ por cada término del polinomio $\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
Aplicando la identidad trigonométrica: $\tan^2(\theta)=\sec(\theta)^2-1$
Podemos identificar que la integral es de la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si la potencia $n$ es impar y $m$ es par, entonces debemos expresar todas las funciones en términos de secantes, expandir e integrar por separado
Reescribir el integrando $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)\sec\left(\theta \right)$ en forma expandida
Expandir la integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$
Resolver el producto $-4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
Simplificando
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Reduciendo términos semejantes $-2\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$ y $4\ln\left(\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right)$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Multiplicando la fracción por el término $-2$
Sacar el $\frac{-2}{2}$ de la fracción
Sumar los numeradores de las fracciones con denominadores comunes: $\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}$ y $\frac{x}{2}$
La integral $-4\int\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)\sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $\frac{-x\sqrt{x^2+4}}{2}+2\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Multiplicando la fracción por el término $4$
Sacar el $\frac{4}{2}$ de la fracción
Reduciendo términos semejantes $x\sqrt{x^2+4}$ y $\frac{-x\sqrt{x^2+4}}{2}$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Simplificar la expresión aplicando propiedades de los logaritmos
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