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Calculadora de Integrales por sustitución trigonométrica

Obtén soluciones a tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Integrales por sustitución trigonométrica paso a paso. Agudiza tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Puedes encontrar más calculadoras en línea aquí.

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atanh
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Ejemplo resuelto de Integrales por sustitución trigonométrica

$\int\sqrt{x^2+4}dx$
2

Resolver la integral $\int\sqrt{x^2+4}dx$ mediante el método de sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$\begin{matrix}x=2\tan\left(\theta\right) \\ dx=2\sec\left(\theta\right)^2d\theta\end{matrix}$
3

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int2\sqrt{4\tan\left(\theta\right)^2+4}\sec\left(\theta\right)^2d\theta$
4

Sacar la parte constante de la integral

$2\int\sqrt{4\tan\left(\theta\right)^2+4}\sec\left(\theta\right)^2d\theta$
5

Factorizando por el máximo común divisor $4$

$2\int\sqrt{4\left(\tan\left(\theta\right)^2+1\right)}\sec\left(\theta\right)^2d\theta$
6

Aplicando la regla de potencia de un producto

$2\int2\sqrt{\tan\left(\theta\right)^2+1}\sec\left(\theta\right)^2d\theta$
7

Haciendo uso de la identidad trigonométrica: $\tan(x)^2+1=\sec(x)^2$

$2\int2\sec\left(\theta\right)^2\sec\left(\theta\right)d\theta$
8

Sacar la parte constante de la integral

$4\int\sec\left(\theta\right)^2\sec\left(\theta\right)d\theta$
9

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes

$4\int\sec\left(\theta\right)^{3}d\theta$
10

Podemos resolver la integral de secante elevada a una potencia $n$ utilizando la fórmula de reducción, $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$

$4\left(\frac{\sec\left(\theta\right)^{2}\sin\left(\theta\right)}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta\right)d\theta\right)$
11

Expresamos el resultado de la integral en términos de la variable original

$4\left(\frac{\frac{\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^{2}x}{\sqrt{x^2+4}}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta\right)d\theta\right)$
12

Simplificando la fracción

$4\left(\frac{\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^{2}x}{2\sqrt{x^2+4}}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta\right)d\theta\right)$
13

Sacando la constante $2$ del denominador de la fracción

$4\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^{2}x}{\sqrt{x^2+4}}\right)+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta\right)d\theta\right)$
14

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$4\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^{2}x}{\sqrt{x^2+4}}\right)+\frac{1}{2}\ln\left|\sec\left(\theta\right)+\tan\left(\theta\right)\right|\right)$
15

Expresamos el resultado de la integral en términos de la variable original

$4\left(\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^{2}x}{\sqrt{x^2+4}}+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right|\right)$
16

Sumar los numeradores de las fracciones con denominadores comunes: $\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}$ y $\frac{x}{2}$

$4\left(\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^{2}x}{\sqrt{x^2+4}}+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right|\right)$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar debemos añadir la constante de integración

$4\left(\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^{2}x}{\sqrt{x^2+4}}+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right|\right)+C_0$

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