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Ejemplo resuelto de integrales por sustitución trigonométrica
$\int\sqrt{x^2+4}dx$
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Podemos resolver la integral $\int\sqrt{x^2+4}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
$x=2\tan\left(\theta \right)$
Derivar ambos lados de la ecuación $x=2\tan\left(\theta \right)$
$dx=\frac{d}{d\theta}\left(2\tan\left(\theta \right)\right)$
$\frac{d}{d\theta}\left(2\tan\left(\theta \right)\right)$
La derivada de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante por la derivada de la función
$2\frac{d}{d\theta}\left(\tan\left(\theta \right)\right)$
La derivada de la tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = tan(x)}$, entonces ${f'(x) = sec^2(x)\cdot D_x(x)}$
$2\sec\left(\theta \right)^2\frac{d}{d\theta}\left(\theta \right)$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
$2\sec\left(\theta \right)^2$
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Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
$dx=2\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
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Sustituyendo en la integral original, obtenemos
$\int2\sqrt{4\tan\left(\theta \right)^2+4}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
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Factor by the greatest common divisor $4$
$\int2\sqrt{4\left(\tan\left(\theta \right)^2+1\right)}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
$\int2\sqrt{2^2\tan\left(\theta \right)^2+4}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
Calculate the power $2^2$
$\int2\sqrt{4\tan\left(\theta \right)^2+4}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
$\int2\sqrt{4}\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
Calcular la potencia $\sqrt{4}$
$\int2\cdot 2\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
$\int4\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
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The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power
$\int4\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
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Applying the trigonometric identity: $\tan(x)^2+1=\sec(x)^2$
$\int4\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
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The integral of a constant by a function is equal to the constant multiplied by the integral of the function
$4\int\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
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Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$
$4\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$
$4\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^{\left(3-2\right)}d\theta$
Restar los valores $3$ y $-2$
$4\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^{1}d\theta$
Cualquier expresión elevada a la potencia uno es igual a esa misma expresión
$4\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
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Reescribir $\sec\left(\theta \right)^{3}$ como el producto de dos secantes
$4\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
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Podemos resolver la integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
Aplicando la derivada de la función secante: $\frac{d}{dx}\left(\sec(x)\right)=\sec(x)\cdot\tan(x)\cdot D_x(x)$
$\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)$
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Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$
$\begin{matrix}\displaystyle{u=\sec\left(\theta \right)}\\ \displaystyle{du=\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta}\end{matrix}$
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Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\sec\left(\theta \right)^2d\theta}\\ \displaystyle{\int dv=\int \sec\left(\theta \right)^2d\theta}\end{matrix}$
$v=\int\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
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La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$
$\tan\left(\theta \right)$
Al multiplicar dos potencias de igual base ($\tan\left(\theta \right)$), se pueden sumar los exponentes
$4\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
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Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
$4\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
$4\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)+4\left(-1\right)\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
$4\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-4\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
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Multiplicando polinomios $4$ y $\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
$4\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-4\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
Aplicamos la regla: $\int\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)^2dx$$=\int\sec\left(x\right)^3dx-\int\sec\left(x\right)dx$, donde $x=\theta $
$-4\left(\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
$-4\left(\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta-\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|\right)$
Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^3d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$
$-4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta-\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|\right)$
Resolver el producto $-4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta-\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|\right)$
$-2\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}-4\left(\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta-\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|\right)$
Resolver el producto $-4\left(\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)d\theta-\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|\right)$
$-2\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}-2\int\sec\left(\theta \right)d\theta+4\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|$
Aplicamos la regla: $\sin\left(x\right)\sec\left(x\right)^n$$=\tan\left(x\right)\sec\left(x\right)^{\left(n-1\right)}$, donde $x=\theta $ y $n=2$
$-2\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-2\int\sec\left(\theta \right)d\theta+4\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|$
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
$-2\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-2\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|+4\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|$
Reduciendo términos semejantes $-2\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|$ y $4\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|$
$-2\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)+2\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|$
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La integral $-4\int\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $-2\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)+2\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|$
$-2\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)+2\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
$4\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)+2\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|-2\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)$
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Reduciendo términos semejantes $4\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)$ y $-2\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)$
$2\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)+2\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|$
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Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
$2\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)+2\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right|$
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Multiplicando la fracción por el término $2$
$\frac{2x}{2}\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+2\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right|$
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Sacar el $\frac{2}{2}$ de la fracción
$\frac{x\sqrt{x^2+4}}{2}+2\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right|$
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Sumar los numeradores de las fracciones con denominadores comunes: $\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}$ y $\frac{x}{2}$
$\frac{x\sqrt{x^2+4}}{2}+2\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right|$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
$\frac{x\sqrt{x^2+4}}{2}+2\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right|+C_0$
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador
$2\left(\ln\left|\sqrt{x^2+4}+x\right|-\ln\left|2\right|\right)$
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Simplificar la expresión aplicando propiedades de los logaritmos
$\frac{x\sqrt{x^2+4}}{2}+2\ln\left|\sqrt{x^2+4}+x\right|+C_0$
$\frac{x\sqrt{x^2+4}}{2}+2\ln\left|\sqrt{x^2+4}+x\right|+C_0$