Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de integrales por sustitución trigonométrica. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
Podemos resolver la integral $\int\sqrt{x^2+4}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Derivar ambos lados de la ecuación $x=2\tan\left(\theta \right)$
Encontrar la derivada
La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función
La derivada de la tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = tan(x)}$, entonces ${f'(x) = sec^2(x)\cdot D_x(x)}$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Aplicando la regla de potencia de un producto
Simplificar $4\tan\left(\theta \right)^2+4$ en términos de la función secante
Aplicando la regla de potencia de un producto
Simplificar $\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$
Multiplicar $2$ por $2$
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $4\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$
Sumar los valores $2$ y $1$
Simplificando
La integral de una función multiplicada por una constante ($4$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Reescribir $\sec\left(\theta \right)^{3}$ como el producto de dos secantes
Podemos resolver la integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
Aplicando la derivada de la función secante: $\frac{d}{dx}\left(\sec(x)\right)=\sec(x)\cdot\tan(x)\cdot D_x(x)$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral para hallar $v$
La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$
Al multiplicar dos potencias de igual base ($\tan\left(\theta \right)$), se pueden sumar los exponentes
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Multiplicar el término $4$ por cada término del polinomio $\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)^2d\theta\right)$
Aplicando la identidad trigonométrica: $\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2-1$
Podemos identificar que la integral es de la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si la potencia $n$ es impar y $m$ es par, entonces debemos expresar todas las funciones en términos de secantes, expandir e integrar por separado
Multiplicar el término $\sec\left(\theta \right)$ por cada término del polinomio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)$
Multiplicar el término $\sec\left(\theta \right)$ por cada término del polinomio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$
Expandir la integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Multiplicando la fracción por el término $4\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)$
Sacar el $\frac{4}{2}$ de la fracción
Multiplicando la fracción por el término $2x$
Sacar el $\frac{2}{2}$ de la fracción
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$
Resolver el producto $-4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta \right)^{1}d\theta\right)$
Simplificar la fracción $-4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
La integral $-4\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ da como resultado: $\frac{-x}{2\sqrt{x^2+4}}x^2+4\left(\frac{-x}{2\sqrt{x^2+4}}\right)-2\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right|$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Combinar las fracciones con denominador común $2$
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Combinar las fracciones con denominador común $2$
La integral $4\int\sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $4\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right|$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Reduciendo términos semejantes $-2\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right|$ y $4\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right|$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Simplificar la expresión aplicando propiedades de los logaritmos
Obtén acceso a miles de soluciones a ejercicios paso a paso, ¡y va en aumento cada día!
Problemas más populares resueltos con ésta calculadora: