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Calculadora de Integrales por Sustitución Trigonométrica

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Integrales por Sustitución Trigonométrica paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Encuentra todas nuestras calculadoras aquí.

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asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de integrales por sustitución trigonométrica. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:

$\int\sqrt{x^2+4}dx$
2

Podemos resolver la integral $\int\sqrt{x^2+4}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$x=2\tan\left(\theta \right)$

Derivar ambos lados de la ecuación $x=2\tan\left(\theta \right)$

$dx=\frac{d}{d\theta}\left(2\tan\left(\theta \right)\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{d\theta}\left(2\tan\left(\theta \right)\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función

$2\frac{d}{d\theta}\left(\tan\left(\theta \right)\right)$

La derivada de la tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = tan(x)}$, entonces ${f'(x) = sec^2(x)\cdot D_x(x)}$

$2\frac{d}{d\theta}\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$2\sec\left(\theta \right)^2$
3

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dx=2\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
4

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int2\sqrt{4\tan\left(\theta \right)^2+4}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
5

Factoizar el polinomio $4\tan\left(\theta \right)^2+4$ por su máximo común divisor (MCD): $4$

$\int2\sqrt{4\left(\tan\left(\theta \right)^2+1\right)}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
6

Aplicando la regla de potencia de un producto

$\int4\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2+1}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
7

Aplicando la identidad trigonométrica: $1+\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2$

$\int4\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
8

La integral de una función multiplicada por una constante ($4$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$4\int\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
9

Simplificar $\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$

$4\int\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
10

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $\sec\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^2$

$4\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$
11

Reescribir $\sec\left(\theta \right)^{3}$ como el producto de dos secantes

$4\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$
12

Podemos resolver la integral $\int\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Aplicando la derivada de la función secante: $\frac{d}{dx}\left(\sec(x)\right)=\sec(x)\cdot\tan(x)\cdot D_x(x)$

$\frac{d}{d\theta}\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)$
13

Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\sec\left(\theta \right)}\\ \displaystyle{du=\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta}\end{matrix}$
14

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\sec\left(\theta \right)^2d\theta}\\ \displaystyle{\int dv=\int \sec\left(\theta \right)^2d\theta}\end{matrix}$
15

Calcular la integral para hallar $v$

$v=\int\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
16

La integral de $\sec(x)^2$ es $\tan(x)$

$\tan\left(\theta \right)$

Al multiplicar dos potencias de igual base ($\tan\left(\theta \right)$), se pueden sumar los exponentes

$4\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)^2d\theta\right)$
17

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$4\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)^2d\theta\right)$
18

Multiplicar el término $4$ por cada término del polinomio $\left(\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-\int\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)^2d\theta\right)$

$4\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-4\int\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)^2d\theta$

Aplicando la identidad trigonométrica: $\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2-1$

$4\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-4\int\sec\left(\theta \right)\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)d\theta$
19

Podemos identificar que la integral es de la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si la potencia $n$ es impar y $m$ es par, entonces debemos expresar todas las funciones en términos de secantes, expandir e integrar por separado

$4\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-4\int\sec\left(\theta \right)\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)d\theta$

Multiplicar el término $\sec\left(\theta \right)$ por cada término del polinomio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$

$\int\left(\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)-\sec\left(\theta \right)\right)$

Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: $\sec\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)$

$4\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-4\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$
20

Multiplicar el término $\sec\left(\theta \right)$ por cada término del polinomio $\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)$

$4\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-4\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$
21

Expandir la integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$4\tan\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)-4\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta-4\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$4\frac{x}{2}\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}-4\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta-4\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$

Multiplicando la fracción por el término $4\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)$

$\sqrt{x^2+4}x-4\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta-4\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$
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Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$\sqrt{x^2+4}x-4\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta-4\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$

Podemos simplificar la integral $\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ utilizando la fórmula de reducción: $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$

$-4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{3-1}+\frac{3-2}{3-1}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

Resolver el producto $-4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{3-1}+\frac{3-2}{3-1}\int\sec\left(\theta \right)d\theta\right)$

$-4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)-2\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

Simplificar la fracción $-4\left(\frac{\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}}{2}\right)$

$-2\sin\left(\theta \right)\sec\left(\theta \right)^{2}-2\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x-2\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x-2\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x-2\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right|$
23

La integral $-4\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ da como resultado: $-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x-2\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right|$

$-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x-2\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right|$
24

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\sqrt{x^2+4}x-2\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right|-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x-4\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$
25

Reduciendo términos semejantes $\sqrt{x^2+4}x$ y $-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x$

$\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x-2\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right)-4\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$4\int\sec\left(\theta \right)d\theta$

La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$

$4\ln\left|\sec\left(\theta \right)+\tan\left(\theta \right)\right|$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$4\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right|$
26

La integral $-4\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $4\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right|$

$4\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right|$
27

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x-2\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right|+4\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right|$
28

Reduciendo términos semejantes $-2\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right|$ y $4\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right|$

$\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x+2\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right)$
29

El mínimo común múltiplo (MCM) de una suma de fracciones algebraicas consiste en el producto de los factores comunes con mayor exponente, y los factores no comunes

$M.C.M.=2$
30

Combinar y simplificar todos los términos dentro de una misma fracción con $2$ como denominador común

$\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x+2\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right)$
31

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x+2\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right|+C_0$
32

Simplificar la expresión aplicando propiedades de los logaritmos

$\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x+2\ln\left|\sqrt{x^2+4}+x\right|+C_1$

Respuesta final al problema

$\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4}x+2\ln\left|\sqrt{x^2+4}+x\right|+C_1$

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