1
Ejemplo resuelto de Integrales por sustitución trigonométrica
$\int\sqrt{x^2+4}dx$
2
Resolver la integral $\int\sqrt{x^2+4}dx$ mediante el método de sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
$\begin{matrix}x=2\tan\left(\theta\right) \\ dx=2\sec\left(\theta\right)^2d\theta\end{matrix}$
3
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
$\int2\sqrt{4\tan\left(\theta\right)^2+4}\sec\left(\theta\right)^2d\theta$
4
Sacar la parte constante de la integral
$2\int\sqrt{4\tan\left(\theta\right)^2+4}\sec\left(\theta\right)^2d\theta$
5
Factorizando por el máximo común divisor $4$
$2\int\sqrt{4\left(\tan\left(\theta\right)^2+1\right)}\sec\left(\theta\right)^2d\theta$
6
Aplicando la regla de potencia de un producto
$2\int2\sqrt{\tan\left(\theta\right)^2+1}\sec\left(\theta\right)^2d\theta$
7
Haciendo uso de la identidad trigonométrica: $\tan(x)^2+1=\sec(x)^2$
$2\int2\sec\left(\theta\right)^2\sec\left(\theta\right)d\theta$
8
Sacar la parte constante de la integral
$4\int\sec\left(\theta\right)^2\sec\left(\theta\right)d\theta$
9
Al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes
$4\int\sec\left(\theta\right)^{3}d\theta$
10
Podemos resolver la integral de secante elevada a una potencia $n$ utilizando la fórmula de reducción, $\displaystyle\int\sec(x)^{n}dx=\frac{\sin(x)\sec(x)^{n-1}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int\sec(x)^{n-2}dx$
$4\left(\frac{\sec\left(\theta\right)^{2}\sin\left(\theta\right)}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta\right)d\theta\right)$
11
Expresamos el resultado de la integral en términos de la variable original
$4\left(\frac{\frac{\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^{2}x}{\sqrt{x^2+4}}}{2}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta\right)d\theta\right)$
12
Simplificando la fracción
$4\left(\frac{\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^{2}x}{2\sqrt{x^2+4}}+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta\right)d\theta\right)$
13
Sacando la constante $2$ del denominador de la fracción
$4\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^{2}x}{\sqrt{x^2+4}}\right)+\frac{1}{2}\int\sec\left(\theta\right)d\theta\right)$
14
La integral de la secante está dada por la fórmula, $\displaystyle\int\sec(x)dx=\ln\left|\sec(x)+\tan(x)\right|$
$4\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^{2}x}{\sqrt{x^2+4}}\right)+\frac{1}{2}\ln\left|\sec\left(\theta\right)+\tan\left(\theta\right)\right|\right)$
15
Expresamos el resultado de la integral en términos de la variable original
$4\left(\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^{2}x}{\sqrt{x^2+4}}+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+\frac{x}{2}\right|\right)$
16
Sumar los numeradores de las fracciones con denominadores comunes: $\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}$ y $\frac{x}{2}$
$4\left(\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^{2}x}{\sqrt{x^2+4}}+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right|\right)$
17
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar debemos añadir la constante de integración
$4\left(\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}\right)^{2}x}{\sqrt{x^2+4}}+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}+x}{2}\right|\right)+C_0$