Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de integrales con radicales. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
Podemos resolver la integral $\int\sqrt{4-x^2}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Derivar ambos lados de la ecuación $x=2\sin\left(\theta \right)$
Encontrar la derivada
La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función
La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Aplicando la regla de potencia de un producto
Multiplicar $-1$ por $4$
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Factoizar el polinomio $4-4\sin\left(\theta \right)^2$ por su máximo común divisor (MCD): $4$
Aplicando la regla de potencia de un producto
Aplicando la identidad trigonométrica: $1-\sin\left(\theta \right)^2 = \cos\left(\theta \right)^2$
La integral de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Simplificar $\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$
Multiplicar la fracción y el término en $2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$
Dividir $2$ entre $2$
Al multiplicar dos potencias de igual base ($\cos\left(\theta \right)$), se pueden sumar los exponentes
Aplicamos la regla: $\int\cos\left(\theta \right)^2dx$$=\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)+C$, donde $x=\theta $
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Aplicando la identidad del seno de doble ángulo: $\sin\left(2\theta\right)=2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)$
Multiplicar la fracción y el término en $\left(\frac{1}{4}\right)\cdot 2\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$
Multiplicar $2$ por $1$
Dividir $2$ entre $4$
Multiplicar la fracción y el término en $\left(\frac{1}{4}\right)\cdot 2\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Multiplicando fracciones $\frac{1}{2} \times \frac{x}{2}$
Multiplicar $2$ por $2$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Multiplicando fracciones $\frac{x}{4} \times \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$
Multiplicando fracciones $\frac{1}{2} \times \frac{x}{2}$
Multiplicar $2$ por $2$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Multiplicar $4$ por $2$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Resolver el producto $2\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}\right)$
Multiplicando la fracción por el término $2$
Sacar el $\frac{2}{8}$ de la fracción
Multiplicar la fracción y el término en $2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Dividir $2$ entre $2$
Expandir y simplificar
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