Calculadora de Integrales con Radicales

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∫√4−x²dx



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

(◻)

◻/◻

◻²

◻^◻

√◻

√

^◻√◻

^◻√

∞

log

log_◻

lim

d/dx

D^□_x

∫

∫^◻

|◻|

sin

cos

tan

cot

sec

csc

asin

acos

atan

acot

asec

acsc

sinh

cosh

tanh

coth

sech

csch

asinh

acosh

atanh

acoth

asech

acsch

 Ejercicios Difíciles

Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de integrales con radicales. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:

\int\sqrt{4-x^2}dx

Podemos resolver la integral $\int\sqrt{4-x^2}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

x=2\sin\left(\theta \right)

Derivar ambos lados de la ecuación $x=2\sin\left(\theta \right)$

dx=\frac{d}{d\theta}\left(2\sin\left(\theta \right)\right)

Encontrar la derivada

\frac{d}{d\theta}\left(2\sin\left(\theta \right)\right)

La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función

2\frac{d}{d\theta}\left(\sin\left(\theta \right)\right)

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$ , entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$

2\cos\left(\theta \right)

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$ , necesitamos encontrar la derivada de $x$ . Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$ , podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

dx=2\cos\left(\theta \right)d\theta

Aplicando la regla de potencia de un producto

\int2\sqrt{4- 4\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta

Multiplicar $-1$ por $4$

\int2\sqrt{4-4\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

\int2\sqrt{4-4\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta

Factoizar el polinomio $4-4\sin\left(\theta \right)^2$ por su máximo común divisor (MCD): $4$

\int2\sqrt{4\left(1-\sin\left(\theta \right)^2\right)}\cos\left(\theta \right)d\theta

Aplicando la regla de potencia de un producto

\int2\cdot 2\sqrt{1-\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta

Aplicando la identidad trigonométrica: $1-\sin\left(\theta \right)^2 = \cos\left(\theta \right)^2$

\int2\cdot 2\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta

La integral de una función multiplicada por una constante ( $2$ ) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

2\int\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta

Simplificar $\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$ . En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$

2\int\cos\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)d\theta

Al multiplicar dos potencias de igual base ( $\cos\left(\theta \right)$ ), se pueden sumar los exponentes

2\int\cos\left(\theta \right)^2d\theta

Aplicamos la regla: $\int\cos\left(\theta \right)^2dx$ $=\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)+C$ , donde $x=\theta$

2\left(\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)\right)

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

2\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)\right)

Aplicando la identidad del seno de doble ángulo: $\sin\left(2\theta\right)=2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)$

2\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+2\left(\frac{1}{4}\right)\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)\right)

Multiplicar la fracción y el término en $2\left(\frac{1}{4}\right)\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$

2\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)\right)

Multiplicando fracciones $\frac{1}{2} \times \frac{x}{2}$

2\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x}{4}\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}\right)

Multiplicando fracciones $\frac{x}{4} \times \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$

2\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}\right)

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

2\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}\right)

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

2\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}\right)+C_0

Resolver el producto $2\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}\right)$

2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+2\left(\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}\right)+C_0

Multiplicando la fracción por el término $2$

2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{2x\sqrt{4-x^2}}{8}+C_0

Sacar el $\frac{2}{8}$ de la fracción

2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{4}x\sqrt{4-x^2}+C_0

Multiplicar la fracción y el término en $2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$

\frac{2\cdot 1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{4}x\sqrt{4-x^2}+C_0

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

\frac{2}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{4}x\sqrt{4-x^2}+C_0

Dividir $2$ entre $2$

\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{4}x\sqrt{4-x^2}+C_0

Expandir y simplificar

\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{4}x\sqrt{4-x^2}+C_0

 Respuesta final al problema

\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{4}x\sqrt{4-x^2}+C_0

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