Ejemplo resuelto de integrales con radicales
Podemos resolver la integral $\int\sqrt{4-x^2}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Derivar ambos lados de la ecuación $x=2\sin\left(\theta \right)$
Encontrar la derivada
La derivada de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante por la derivada de la función
La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Factor by the greatest common divisor $4$
Calculate the power $2^2$
Multiply $-1$ times $4$
Calcular la potencia $\sqrt{4}$
Multiplicar $2$ por $2$
The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power
Applying the trigonometric identity: $1-\sin\left(\theta\right)^2=\cos\left(\theta\right)^2$
The integral of a constant by a function is equal to the constant multiplied by the integral of the function
Aplicamos la identidad trigonométrica: $\cos\left(x\right)^2$$=\frac{1+\cos\left(2x\right)}{2}$, donde $x=\theta $
Dividir $1$ entre $2$
Multiplicar $4$ por $\frac{1}{2}$
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Expandir la integral $\int\left(1+\cos\left(2\theta \right)\right)d\theta$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
Dividir $1$ entre $2$
Podemos resolver la integral $\int\cos\left(2\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2\theta $ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $d\theta$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $d\theta$ en la integral y luego simplificamos
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
La integral del coseno de una función es igual al seno de la misma función, en otras palabras: $\int\cos(x)dx=\sin(x)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2\theta $
Aplicamos la regla: $\int\cos\left(ax\right)dx$$=\frac{1}{a}\sin\left(ax\right)$, donde $a=2$ y $x=\theta $
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Multiplicar $2$ por $\frac{1}{2}$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Resolver el producto $2\left(\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}\sin\left(2\theta \right)\right)$
Aplicando la identidad del seno de doble ángulo: $\sin\left(2\theta\right)=2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Multiplicando la fracción por el término $2$
Sacar el $\frac{2}{2}$ de la fracción
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
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