Ejemplo resuelto de integrales con radicales
Podemos resolver la integral $\int\sqrt{4-x^2}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Derivar ambos lados de la ecuación $x=2\sin\left(\theta \right)$
Encontrar la derivada
La derivada de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante por la derivada de la función
La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Factor the polynomial $4-4\sin\left(\theta \right)^2$ by it's GCF: $4$
The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power
Calculate the power $2^2$
Multiply $-1$ times $4$
Calcular la potencia $\sqrt{4}$
Multiplicar $2$ por $2$
The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power
Applying the trigonometric identity: $1-\sin\left(\theta\right)^2=\cos\left(\theta\right)^2$
The integral of a constant by a function is equal to the constant multiplied by the integral of the function
Aplicamos la identidad trigonométrica: $\cos\left(x\right)^2$$=\frac{1+\cos\left(2x\right)}{2}$, donde $x=\theta $
Reescribir la expresión trigonométrica $\cos\left(\theta \right)^2$ dentro de la integral
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Dividir $1$ entre $2$
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Multiplicar $4$ por $\frac{1}{2}$
Expandir la integral $\int\left(1+\cos\left(2\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
Simplificando
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
La integral $2\int1d\theta$ da como resultado: $2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$
Aplicamos la regla: $\int\cos\left(ax\right)dx$$=\frac{1}{a}\sin\left(ax\right)$, donde $a=2$ y $x=\theta $
Aplicando la identidad del seno de doble ángulo: $\sin\left(2\theta\right)=2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
Multiplicando la fracción por el término $2$
Sacar el $\frac{2}{2}$ de la fracción
La integral $2\int\cos\left(2\theta \right)d\theta$ da como resultado: $\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
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