Ejemplo resuelto de integrales con radicales
Podemos resolver la integral $\int\sqrt{4-x^2}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Derivar ambos lados de la ecuación $x=2\sin\left(\theta \right)$
Encontrar la derivada
La derivada de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante por la derivada de la función
La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Factoizar el polinomio $4-4\sin\left(\theta \right)^2$ por su máximo común divisor (MCD): $4$
Aplicando la regla de potencia de un producto
Aplicando la identidad trigonométrica: $1-\sin\left(\theta\right)^2=\cos\left(\theta\right)^2$
La integral de una función multiplicada por una constante ($4$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Simplificar $\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$
Al multiplicar dos potencias de igual base ($\cos\left(\theta \right)$), se pueden sumar los exponentes
Aplicamos la identidad trigonométrica: $\cos\left(x\right)^2$$=\frac{1+\cos\left(2x\right)}{2}$, donde $x=\theta $
Reescribir la expresión trigonométrica $\cos\left(\theta \right)^2$ dentro de la integral
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Dividir $1$ entre $2$
Expandir la integral $\int\left(1+\cos\left(2\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
Multiplicar $4$ por $\frac{1}{2}$
Simplificamos la expresión dentro de la integral
Resolver el producto $2\left(\int1d\theta+\int\cos\left(2\theta \right)d\theta\right)$
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
La integral $2\cdot \int1d\theta$ da como resultado: $2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$
Aplicamos la regla: $\int\cos\left(ax\right)dx$$=\frac{1}{a}\sin\left(ax\right)+C$, donde $a=2$ y $x=\theta $
Simplificamos la expresión dentro de la integral
Aplicando la identidad del seno de doble ángulo: $\sin\left(2\theta\right)=2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)$
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
La integral $2\int\cos\left(2\theta \right)d\theta$ da como resultado: $\frac{\sqrt{4-x^2}x}{2}$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
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