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Calculadora de Integrales con radicales

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Integrales con radicales paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. ¡Puedes encontrar todas nuestras calculadoras en línea aquí!

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atanh
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asech
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Ejemplo resuelto de integrales con radicales

$\int\sqrt{4-x^2}dx$
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Podemos resolver la integral $\int\sqrt{4-x^2}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$x=2\sin\left(\theta \right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante por la derivada de la función

$2\frac{d}{d\theta}\left(\sin\left(\theta \right)\right)$

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$

$2\cos\left(\theta \right)$
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Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dx=2\cos\left(\theta \right)d\theta$
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Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int2\sqrt{4-4\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta$
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Factor by the greatest common divisor $4$

$\int2\sqrt{4\left(1-\sin\left(\theta \right)^2\right)}\cos\left(\theta \right)d\theta$
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The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power

$\int4\sqrt{1-\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta$
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Applying the trigonometric identity: $1-\sin\left(\theta\right)^2=\cos\left(\theta\right)^2$

$\int4\cos\left(\theta \right)^2d\theta$
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The integral of a constant by a function is equal to the constant multiplied by the integral of the function

$4\int\cos\left(\theta \right)^2d\theta$
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Aplicamos la identidad trigonométrica: $\cos\left(x\right)^2$$=\frac{1+\cos\left(2x\right)}{2}$, donde $x=\theta $

$4\int\frac{1+\cos\left(2\theta \right)}{2}d\theta$
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Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$2\int\left(1+\cos\left(2\theta \right)\right)d\theta$

La integral de la suma de dos o más términos se puede reescribir como la integral de cada término por separado

$2\left(\int1d\theta+\int\cos\left(2\theta \right)d\theta\right)$

Resolver el producto $2\left(\int1d\theta+\int\cos\left(2\theta \right)d\theta\right)$

$2\int1d\theta+2\int\cos\left(2\theta \right)d\theta$
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Expandir la integral

$2\int1d\theta+2\int\cos\left(2\theta \right)d\theta$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$2\theta $

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$
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La integral $2\int1d\theta$ da como resultado: $2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$

Aplicamos la regla: $\int\cos\left(ax\right)dx$$=\frac{1}{a}\sin\left(ax\right)$, donde $a=2$ y $x=\theta $

$\sin\left(2\theta \right)$

Aplicando la identidad del seno de doble ángulo: $\sin\left(2\theta\right)=2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)$

$2\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$2\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}\right)$

Multiplicando la fracción por el término $2$

$\frac{2x}{2}\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$

Sacar el $\frac{2}{2}$ de la fracción

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}$
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La integral $2\int\cos\left(2\theta \right)d\theta$ da como resultado: $\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}$

$\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+C_0$

Respuesta Final

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+C_0$

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