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Calculadora de Integrales con Radicales

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Integrales con Radicales paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Encuentra todas nuestras calculadoras aquí.

∫√4−x2dx
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atanh
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asech
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Ejemplo

Ejercicios Resueltos

Ejercicios Difíciles

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Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de integrales con radicales. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:

∫4−x2dx\int\sqrt{4-x^2}dx
2

Podemos resolver la integral ∫4−x2dx\int\sqrt{4-x^2}dx mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

x=2sin⁡(θ)x=2\sin\left(\theta \right)

Derivar ambos lados de la ecuación x=2sin⁡(θ)x=2\sin\left(\theta \right)

dx=ddθ(2sin⁡(θ))dx=\frac{d}{d\theta}\left(2\sin\left(\theta \right)\right)

Encontrar la derivada

ddθ(2sin⁡(θ))\frac{d}{d\theta}\left(2\sin\left(\theta \right)\right)

La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función

2ddθ(sin⁡(θ))2\frac{d}{d\theta}\left(\sin\left(\theta \right)\right)

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si f(x)=sin⁡(x){f(x) = \sin(x)}, entonces f′(x)=cos⁡(x)⋅Dx(x){f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}

2cos⁡(θ)2\cos\left(\theta \right)
3

Ahora, para poder reescribir dθd\theta en términos de dxdx, necesitamos encontrar la derivada de xx. Por lo tanto, necesitamos calcular dxdx, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

dx=2cos⁡(θ)dθdx=2\cos\left(\theta \right)d\theta

Aplicando la regla de potencia de un producto

∫24−4sin⁡(θ)2cos⁡(θ)dθ\int2\sqrt{4- 4\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta

Multiplicar −1-1 por 44

∫24−4sin⁡(θ)2cos⁡(θ)dθ\int2\sqrt{4-4\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta
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Sustituyendo en la integral original, obtenemos

∫24−4sin⁡(θ)2cos⁡(θ)dθ\int2\sqrt{4-4\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta
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Factoizar el polinomio 4−4sin⁡(θ)24-4\sin\left(\theta \right)^2 por su máximo común divisor (MCD): 44

∫24(1−sin⁡(θ)2)cos⁡(θ)dθ\int2\sqrt{4\left(1-\sin\left(\theta \right)^2\right)}\cos\left(\theta \right)d\theta
6

Aplicando la regla de potencia de un producto

∫2⋅21−sin⁡(θ)2cos⁡(θ)dθ\int2\cdot 2\sqrt{1-\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta
7

Aplicando la identidad trigonométrica: 1−sin⁡(θ)2=cos⁡(θ)21-\sin\left(\theta \right)^2 = \cos\left(\theta \right)^2

∫2⋅2cos⁡(θ)2cos⁡(θ)dθ\int2\cdot 2\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta
8

La integral de una función multiplicada por una constante (22) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

2∫cos⁡(θ)2cos⁡(θ)dθ2\int\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta
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Simplificar cos⁡(θ)2\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2} aplicando la regla de potencia de una potencia: (am)n=am⋅n\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}. En la expresión, mm es igual a 22 y nn es igual a 12\frac{1}{2}

2∫cos⁡(θ)cos⁡(θ)dθ2\int\cos\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)d\theta
10

Al multiplicar dos potencias de igual base (cos⁡(θ)\cos\left(\theta \right)), se pueden sumar los exponentes

2∫cos⁡(θ)2dθ2\int\cos\left(\theta \right)^2d\theta
11

Aplicamos la regla: ∫cos⁡(θ)2dx\int\cos\left(\theta \right)^2dx=12θ+14sin⁡(2θ)+C=\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)+C, donde x=θx=\theta

2(12θ+14sin⁡(2θ))2\left(\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)\right)
12

Expresar la variable θ\theta términos de la variable original xx

2(12arcsin⁡(x2)+14sin⁡(2θ))2\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)\right)
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Aplicando la identidad del seno de doble ángulo: sin⁡(2θ)=2sin⁡(θ)cos⁡(θ)\sin\left(2\theta\right)=2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)

2(12arcsin⁡(x2)+2(14)sin⁡(θ)cos⁡(θ))2\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+2\left(\frac{1}{4}\right)\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)\right)
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Multiplicar la fracción y el término en 2(14)sin⁡(θ)cos⁡(θ)2\left(\frac{1}{4}\right)\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)

2(12arcsin⁡(x2)+12sin⁡(θ)cos⁡(θ))2\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)\right)

Multiplicando fracciones 12×x2\frac{1}{2} \times \frac{x}{2}

2(12arcsin⁡(x2)+x44−x22)2\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x}{4}\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}\right)

Multiplicando fracciones x4×4−x22\frac{x}{4} \times \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}

2(12arcsin⁡(x2)+x4−x28)2\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}\right)
15

Expresar la variable θ\theta términos de la variable original xx

2(12arcsin⁡(x2)+x4−x28)2\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}\right)
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración CC

2(12arcsin⁡(x2)+x4−x28)+C02\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}\right)+C_0

Resolver el producto 2(12arcsin⁡(x2)+x4−x28)2\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}\right)

2⋅(12)arcsin⁡(x2)+2(x4−x28)+C02\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+2\left(\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}\right)+C_0

Multiplicando la fracción por el término 22

2⋅(12)arcsin⁡(x2)+2x4−x28+C02\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{2x\sqrt{4-x^2}}{8}+C_0

Sacar el 28\frac{2}{8} de la fracción

2⋅(12)arcsin⁡(x2)+14x4−x2+C02\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{4}x\sqrt{4-x^2}+C_0

Multiplicar la fracción y el término en 2⋅(12)arcsin⁡(x2)2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)

2⋅12arcsin⁡(x2)+14x4−x2+C0\frac{2\cdot 1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{4}x\sqrt{4-x^2}+C_0

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

22arcsin⁡(x2)+14x4−x2+C0\frac{2}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{4}x\sqrt{4-x^2}+C_0

Dividir 22 entre 22

arcsin⁡(x2)+14x4−x2+C0\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{4}x\sqrt{4-x^2}+C_0
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Expandir y simplificar

arcsin⁡(x2)+14x4−x2+C0\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{4}x\sqrt{4-x^2}+C_0

Respuesta final al problema

arcsin⁡(x2)+14x4−x2+C0\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{4}x\sqrt{4-x^2}+C_0

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