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Calculadora de Integrales con Radicales

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Integrales con Radicales paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. Encuentra todas nuestras calculadoras aquí.

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asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de integrales con radicales. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:

$\int\sqrt{4-x^2}dx$
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Podemos resolver la integral $\int\sqrt{4-x^2}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$x=2\sin\left(\theta \right)$

Derivar ambos lados de la ecuación $x=2\sin\left(\theta \right)$

$dx=\frac{d}{d\theta}\left(2\sin\left(\theta \right)\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{d\theta}\left(2\sin\left(\theta \right)\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función

$2\frac{d}{d\theta}\left(\sin\left(\theta \right)\right)$

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$

$2\cos\left(\theta \right)$
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Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dx=2\cos\left(\theta \right)d\theta$
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Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int2\sqrt{4-4\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta$
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Factoizar el polinomio $4-4\sin\left(\theta \right)^2$ por su máximo común divisor (MCD): $4$

$\int2\sqrt{4\left(1-\sin\left(\theta \right)^2\right)}\cos\left(\theta \right)d\theta$
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Aplicando la regla de potencia de un producto

$\int4\sqrt{1-\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta$
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Aplicando la identidad trigonométrica: $1-\sin\left(\theta \right)^2 = \cos\left(\theta \right)^2$

$\int4\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta$
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La integral de una función multiplicada por una constante ($4$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$4\int\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta$
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Simplificar $\sqrt{\cos\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$

$4\int\cos\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)d\theta$
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Al multiplicar dos potencias de igual base ($\cos\left(\theta \right)$), se pueden sumar los exponentes

$4\int\cos\left(\theta \right)^2d\theta$
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Aplicamos la regla: $\int\cos\left(\theta \right)^2dx$$=\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)+C$, donde $x=\theta $

$4\left(\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)\right)$
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Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$4\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)\right)$
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Aplicando la identidad del seno de doble ángulo: $\sin\left(2\theta\right)=2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)$

$4\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)\right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$4\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}\right)\right)$

Multiplicando fracciones $\frac{x}{2} \times \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$

$4\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x\sqrt{4-x^2}}{4}\right)\right)$

Simplificar $\frac{1}{2}\left(\frac{x\sqrt{4-x^2}}{4}\right)$

$4\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}\right)$
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Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$4\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}\right)$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$4\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}\right)+C_0$

Resolver el producto $4\left(\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}\right)$

$4\cdot \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+4\left(\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}\right)+C_0$

Multiplicar $4$ por $\frac{1}{2}$

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+4\left(\frac{x\sqrt{4-x^2}}{8}\right)+C_0$

Multiplicando la fracción por el término $4$

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{4x\sqrt{4-x^2}}{8}+C_0$

Sacar el $\frac{4}{8}$ de la fracción

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{4-x^2}+C_0$
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Expandir y simplificar

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{4-x^2}+C_0$

Respuesta final al problema

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{4-x^2}+C_0$

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