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Calculadora de Integrales con radicales

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Integrales con radicales paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. ¡Puedes encontrar todas nuestras calculadoras en línea aquí!

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acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Ejemplo resuelto de integrales con radicales

$\int\sqrt{4-x^2}dx$
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Podemos resolver la integral $\int\sqrt{4-x^2}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$x=2\sin\left(\theta \right)$

Derivar ambos lados de la ecuación $x=2\sin\left(\theta \right)$

$dx=\frac{d}{d\theta}\left(2\sin\left(\theta \right)\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{d\theta}\left(2\sin\left(\theta \right)\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante por la derivada de la función

$2\frac{d}{d\theta}\left(\sin\left(\theta \right)\right)$

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$

$2\cos\left(\theta \right)$
3

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dx=2\cos\left(\theta \right)d\theta$
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Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int2\sqrt{4-4\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta$
5

Factor by the greatest common divisor $4$

$\int2\sqrt{4\left(1-\sin\left(\theta \right)^2\right)}\cos\left(\theta \right)d\theta$

$\int2\sqrt{4-2^2\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta$

Calculate the power $2^2$

$\int2\sqrt{4-1\cdot 4\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta$

Multiply $-1$ times $4$

$\int2\sqrt{4-4\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta$

$\int2\sqrt{4}\sqrt{1-\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta$

Calcular la potencia $\sqrt{4}$

$\int2\cdot 2\sqrt{1-\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta$

Multiplicar $2$ por $2$

$\int4\sqrt{1-\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta$
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The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power

$\int4\sqrt{1-\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta$
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Applying the trigonometric identity: $1-\sin\left(\theta\right)^2=\cos\left(\theta\right)^2$

$\int4\cos\left(\theta \right)^2d\theta$
8

The integral of a constant by a function is equal to the constant multiplied by the integral of the function

$4\int\cos\left(\theta \right)^2d\theta$
9

Aplicamos la identidad trigonométrica: $\cos\left(x\right)^2$$=\frac{1+\cos\left(2x\right)}{2}$, donde $x=\theta $

$4\int\frac{1+\cos\left(2\theta \right)}{2}d\theta$

$4\left(\frac{1}{2}\right)\int\left(1+\cos\left(2\theta \right)\right)d\theta$

Dividir $1$ entre $2$

$4\cdot \frac{1}{2}\int\left(1+\cos\left(2\theta \right)\right)d\theta$

Multiplicar $4$ por $\frac{1}{2}$

$2\int\left(1+\cos\left(2\theta \right)\right)d\theta$
10

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$2\int\left(1+\cos\left(2\theta \right)\right)d\theta$
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Expandir la integral $\int\left(1+\cos\left(2\theta \right)\right)d\theta$

$2\left(\int1d\theta+\int\cos\left(2\theta \right)d\theta\right)$

$2\left(1\theta +\int\cos\left(2\theta \right)d\theta\right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$2\left(\theta +\int\cos\left(2\theta \right)d\theta\right)$
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La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$2\left(\theta +\int\cos\left(2\theta \right)d\theta\right)$

$2\left(\theta +\frac{1}{2}\sin\left(2\theta \right)\right)$

Dividir $1$ entre $2$

$2\left(\theta +\frac{1}{2}\sin\left(2\theta \right)\right)$

Podemos resolver la integral $\int\cos\left(2\theta \right)d\theta$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2\theta $ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2\theta $

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2d\theta$

Despejando $d\theta$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{2}=d\theta$

Sustituimos $u$ y $d\theta$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{\cos\left(u\right)}{2}du$

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\cos\left(u\right)du$

La integral del coseno de una función es igual al seno de la misma función, en otras palabras: $\int\cos(x)dx=\sin(x)$

$\frac{1}{2}\sin\left(u\right)$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2\theta $

$\frac{1}{2}\sin\left(2\theta \right)$
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Aplicamos la regla: $\int\cos\left(ax\right)dx$$=\frac{1}{a}\sin\left(ax\right)$, donde $a=2$ y $x=\theta $

$2\left(\theta +\frac{1}{2}\sin\left(2\theta \right)\right)$
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Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$2\left(\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}\sin\left(2\theta \right)\right)$

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+2\cdot \frac{1}{2}\sin\left(2\theta \right)$

Multiplicar $2$ por $\frac{1}{2}$

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+1\sin\left(2\theta \right)$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\sin\left(2\theta \right)$
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Resolver el producto $2\left(\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}\sin\left(2\theta \right)\right)$

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\sin\left(2\theta \right)$
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Aplicando la identidad del seno de doble ángulo: $\sin\left(2\theta\right)=2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)$

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+2\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$
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Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+2\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}\right)$
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Multiplicando la fracción por el término $2$

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{2x}{2}\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$
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Sacar el $\frac{2}{2}$ de la fracción

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+C_0$

Respuesta Final

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+C_0$

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