Calculadora de Integrales con radicales

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(◻)

◻/◻

◻²

◻^◻

√◻

√

^◻√◻

^◻√

∞

log

log_◻

lim

d/dx

D^□_x

∫

∫^◻

|◻|

sin

cos

tan

cot

sec

csc

asin

acos

atan

acot

asec

acsc

sinh

cosh

tanh

coth

sech

csch

asinh

acosh

atanh

acoth

asech

acsch

Ejemplo

Problemas Resueltos

Problemas Difíciles

Ejemplo resuelto de integrales con radicales

$\int\sqrt{4-x^2}dx$

Podemos resolver la integral $\int\sqrt{4-x^2}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$x=2\sin\left(\theta \right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante ($2$) es igual a la constante por la derivada de la función

$2\frac{d}{d\theta}\left(\sin\left(\theta \right)\right)$

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$

$2\cos\left(\theta \right)$

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dx=2\cos\left(\theta \right)d\theta$

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int2\sqrt{4-4\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta$

Factor by the greatest common divisor $4$

$\int2\sqrt{4\left(1-\sin\left(\theta \right)^2\right)}\cos\left(\theta \right)d\theta$

The power of a product is equal to the product of it's factors raised to the same power

$\int4\sqrt{1-\sin\left(\theta \right)^2}\cos\left(\theta \right)d\theta$

Applying the trigonometric identity: $1-\sin\left(\theta\right)^2=\cos\left(\theta\right)^2$

$\int4\cos\left(\theta \right)^2d\theta$

The integral of a constant by a function is equal to the constant multiplied by the integral of the function

$4\int\cos\left(\theta \right)^2d\theta$

Aplicamos la identidad trigonométrica: $\cos\left(x\right)^2$$=\frac{1+\cos\left(2x\right)}{2}$, donde $x=\theta $

$4\int\frac{1+\cos\left(2\theta \right)}{2}d\theta$

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$2\int\left(1+\cos\left(2\theta \right)\right)d\theta$

La integral de la suma de dos o más términos se puede reescribir como la integral de cada término por separado

$2\left(\int1d\theta+\int\cos\left(2\theta \right)d\theta\right)$

Resolver el producto $2\left(\int1d\theta+\int\cos\left(2\theta \right)d\theta\right)$

$2\int1d\theta+2\int\cos\left(2\theta \right)d\theta$

Expandir la integral

$2\int1d\theta+2\int\cos\left(2\theta \right)d\theta$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$2\theta $

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$

La integral $2\int1d\theta$ da como resultado: $2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$

Aplicamos la regla: $\int\cos\left(ax\right)dx$$=\frac{1}{a}\sin\left(ax\right)$, donde $a=2$ y $x=\theta $

$\sin\left(2\theta \right)$

Aplicando la identidad del seno de doble ángulo: $\sin\left(2\theta\right)=2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)$

$2\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)$

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$2\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}\right)$

Multiplicando la fracción por el término $2$

$\frac{2x}{2}\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$

Sacar el $\frac{2}{2}$ de la fracción

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}$

La integral $2\int\cos\left(2\theta \right)d\theta$ da como resultado: $\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}$

$\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}$

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$2\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+C_0$

Respuesta Final