Ejemplo resuelto de integrales de funciones exponenciales
Podemos resolver la integral $\int\left(2x+7\right)e^{\left(x^2+7x\right)}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x^2+7x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Derivar ambos lados de la ecuación $u=x^2+7x$
Encontrar la derivada
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Simplificar la fracción $\frac{\left(2x+7\right)e^u}{2x+7}$ por $2x+7$
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x^2+7x$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
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