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Integral de $\cos\left(x\right)$ de 0 a $\frac{\pi }{2}$

Solución Paso a paso

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Respuesta Final

$-x\cos\left(x\right)+1$
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Solución explicada paso por paso

Especifica el método de resolución

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Simplificando

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\left(x\right)dx$
2

Podemos resolver la integral $\int\cos\left(x\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
3

Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\cos\left(x\right)}\\ \displaystyle{du=-\sin\left(x\right)dx}\end{matrix}$
4

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=1dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int 1dx}\end{matrix}$
5

Calcular la integral

$v=\int1dx$
6

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$x$
7

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$\left[x\cos\left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\sin\left(x\right)dx$
8

Podemos resolver la integral $\int x\sin\left(x\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
9

Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=x}\\ \displaystyle{du=dx}\end{matrix}$
10

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\sin\left(x\right)dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int \sin\left(x\right)dx}\end{matrix}$
11

Calcular la integral

$v=\int\sin\left(x\right)dx$
12

La integral del seno de función es igual a menos el coseno de la misma función, en otras palabras: $\int\sin(x)dx=-\cos(x)$

$-\cos\left(x\right)$
13

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$\left[x\cos\left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-x\cos\left(x\right)-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\cos\left(x\right)dx$
14

La integral $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\left(x\right)dx$ da como resultado: $1$

$1$
15

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\left[x\cos\left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-x\cos\left(x\right)+1$
16

Evaluando la integral definida

$\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)- 0\cos\left(0\right)-x\cos\left(x\right)+1$
17

Simplificamos la expresión dentro de la integral

$-x\cos\left(x\right)+1$

Respuesta Final

$-x\cos\left(x\right)+1$

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Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

Resolver integral de cosxdx de 0 a \pi /2 usando integrales básicasResolver integral de cosxdx de 0 a \pi /2 por cambio de variableResolver integral de cosxdx de 0 a \pi /2 por método tabularResolver integral de cosxdx de 0 a \pi /2 usando sustitución de weierstrass

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Tema Principal: Integrales Definidas

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x=a y x=b.

Fórmulas Usadas

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