Podemos resolver la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $\sqrt{x^2+6}$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
$u=\sqrt{x^2+6}$
Pasos intermedios
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Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $u$, $dx$ y $x$ en la integral y luego simplificamos
$\int\sqrt{u^{2}-6}du$
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Podemos resolver la integral $\int\sqrt{u^{2}-6}du$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
$u=\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)$
Pasos intermedios
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Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
La integral de una función multiplicada por una constante ($\frac{6}{\log^{3}\left(10\right)}$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Simplificar $\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$
Podemos identificar que la integral es de la forma $\int\tan^m(x)\sec^n(x)dx$. Si la potencia $n$ es impar y $m$ es par, entonces debemos expresar todas las funciones en términos de secantes, expandir e integrar por separado
Expandir la integral $\int\left(\sec\left(\theta \right)^{3}-\sec\left(\theta \right)\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
La integral $\frac{6}{\log^{3}\left(10\right)}\int\sec\left(\theta \right)^{3}d\theta$ da como resultado: $\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
La integral $\frac{6}{\log^{3}\left(10\right)}\int-\sec\left(\theta \right)d\theta$ da como resultado: $-\frac{6}{\log^{3}\left(10\right)}\ln\left(\frac{u}{\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{u^{2}-6}}{\sqrt{6}}\right)$
El mínimo común múltiplo (MCM) de una suma de fracciones algebraicas consiste en el producto de los factores comunes con mayor exponente, y los factores no comunes
$M.C.M.=\sqrt{6}$
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Combinar y simplificar todos los términos dentro de una misma fracción con $\sqrt{6}$ como denominador común
Explora distintas formas de resolver este problema
Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más
Gráfico de: $3\ln\left(\sqrt{x^2+6}+x\right)+C_1+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x-\frac{6}{\log^{3}\left(10\right)}\ln\left(\frac{u+\sqrt{u^{2}-6}}{\sqrt{6}}\right)$