Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Especifica el método de resolución
Podemos resolver la integral $\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+6}}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Factoizar el polinomio $6\tan\left(\theta \right)^2+6$ por su máximo común divisor (MCD): $6$
Aplicando la regla de potencia de un producto
Aplicando la identidad trigonométrica: $1+\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2$
Sacar la parte constante ($6\sqrt{6}$) de la integral
Simplificar $\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$
Simplificar la fracción $\frac{\tan\left(\theta \right)^2\sec\left(\theta \right)^2}{\sqrt{6}\sec\left(\theta \right)}$ por $\sec\left(\theta \right)$
Simplificamos la expresión dentro de la integral
Sacar el término constante $\frac{1}{\sqrt{6}}$ de la integral
Multiplicar $6\sqrt{6}$ por $\frac{\sqrt{6}}{6}$
Reescribir la expresión trigonométrica $\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}$ dentro de la integral
Expandir la fracción $\frac{1-\cos\left(\theta \right)^2}{\cos\left(\theta \right)^{3}}$ en $2$ fracciones más simples con $\cos\left(\theta \right)^{3}$ como denominador en común
Simplificar las fracciones resultantes
Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}+\frac{-1}{\cos\left(\theta \right)}\right)d\theta$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
La integral $6\int\frac{1}{\cos\left(\theta \right)^{3}}d\theta$ da como resultado: $\frac{1}{2}\sqrt{x^2+6}x+3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
La integral $6\int\frac{-1}{\cos\left(\theta \right)}d\theta$ da como resultado: $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Reduciendo términos semejantes $3\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$ y $-6\ln\left(\frac{\sqrt{x^2+6}}{\sqrt{6}}+\frac{x}{\sqrt{6}}\right)$
El mínimo común múltiplo (MCM) de una suma de fracciones algebraicas consiste en el producto de los factores comunes con mayor exponente, y los factores no comunes
Combinar y simplificar todos los términos dentro de una misma fracción con $\sqrt{6}$ como denominador común
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Simplificar la expresión aplicando propiedades de los logaritmos