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Calculadora de Límites de Funciones Exponenciales

Resuelve tus problemas de matemáticas con nuestra calculadora de Límites de Funciones Exponenciales paso a paso. Mejora tus habilidades en matemáticas con nuestra amplia lista de problemas difíciles. ¡Puedes encontrar todas nuestras calculadoras en línea aquí!

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sinh
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tanh
coth
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asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

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Ejemplo resuelto de límites de funciones exponenciales

$\lim_{x\to0}\left(1+3sinx\right)^{\frac{1}{x}}$
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Reescribimos el límite haciendo uso de la identidad: $a^x=e^{x\ln\left(a\right)}$

$\lim_{x\to0}\left(e^{\frac{1}{x}\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}\right)$
3

Multiplicando la fracción por el término $\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$

$\lim_{x\to0}\left(e^{\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}}\right)$
4

Aplicar la regla de potencia de límites: $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)} = \lim_{x\to a}f(x)^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$

$\lim_{x\to0}\left(e\right)^{\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}\right)}$
5

Aplicamos la regla: $\lim_{x\to c}\left(a\right)$$=a$, donde $a=e$ y $c=0$

$e^{\lim_{x\to0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}\right)}$

Insertar el valor $0$ en el límite

$\frac{\ln\left(1+3\sin\left(0\right)\right)}{0}$

El seno de $0$ es $0$

$\frac{\ln\left(1+3\cdot 0\right)}{0}$

Multiplicar $3$ por $0$

$\frac{\ln\left(1+0\right)}{0}$

Sumar los valores $1$ y $0$

$\frac{\ln\left(1\right)}{0}$

Calculando el logaritmo natural de $1$

$\frac{0}{0}$
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Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)}{x}\right)$ cuando $x$ tiende a $0$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada

$\frac{0}{0}$
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Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)\right)}{\frac{d}{dx}\left(x\right)}\right)$

Encontrar la derivada del numerador

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(1+3\sin\left(x\right)\right)\right)$

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{1}{1+3\sin\left(x\right)}\frac{d}{dx}\left(1+3\sin\left(x\right)\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de la derivada de cada función por separado

$\frac{1}{1+3\sin\left(x\right)}\left(\frac{d}{dx}\left(1\right)+\frac{d}{dx}\left(3\sin\left(x\right)\right)\right)$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{1}{1+3\sin\left(x\right)}\frac{d}{dx}\left(3\sin\left(x\right)\right)$

La derivada de una función multiplicada por una constante ($3$) es igual a la constante por la derivada de la función

$3\left(\frac{1}{1+3\sin\left(x\right)}\right)\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)$

La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$

$\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}$

Encontrar la derivada del denominador

$\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$1$
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Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en

$e^{\lim_{x\to0}\left(\frac{\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}}{1}\right)}$
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Cualquier expresión matemática dividida por uno ($1$) es igual a esa misma expresión

$e^{\lim_{x\to0}\left(\frac{3\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)}$
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Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$

$e^{3\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)}$
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Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos\left(x\right)}{1+3\sin\left(x\right)}\right)$ por $x$

$\frac{\cos\left(0\right)}{1+3\sin\left(0\right)}$

El seno de $0$ es $0$

$\frac{\cos\left(0\right)}{1+3\cdot 0}$

Multiplicar $3$ por $0$

$\frac{\cos\left(0\right)}{1+0}$

Sumar los valores $1$ y $0$

$\frac{\cos\left(0\right)}{1}$

El coseno de $0$ es $1$

$\frac{1}{1}$

Dividir $1$ entre $1$

$1$
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Simplificando, obtenemos

$1$
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Multiplicar $3$ por $1$

$e^{3}$
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Calcular la potencia $e^{3}$

$e^{3}$

Respuesta Final

$e^{3}$

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