Ejemplo resuelto de límites por regla de l'hôpital
Insertar el valor $0$ en el límite
El coseno de $0$ es
Restar los valores $1$ y $-1$
Calcular la potencia $0^2$
Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{1-\cos\left(x\right)}{x^2}\right)$ cuando $x$ tiende a $0$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada
Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado
Encontrar la derivada del numerador
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función
La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la función por la derivada de la función, es decir, si $f(x) = \cos(x)$, entonces $f'(x) = -\sin(x)\cdot D_x(x)$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Encontrar la derivada del denominador
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en
Insertar el valor $0$ en el límite
El seno de $0$ es
Multiplicar $2$ por $0$
Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin\left(x\right)}{2x}\right)$ cuando $x$ tiende a $0$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada
Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado
Encontrar la derivada del numerador
La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = \sin(x)}$, entonces ${f'(x) = \cos(x)\cdot D_x(x)}$
Encontrar la derivada del denominador
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en
Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos\left(x\right)}0\right)$ por $x$
El coseno de $0$ es
Dividir $1$ entre $2$
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