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Calculadora de Límites por Racionalización

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acosh
atanh
acoth
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acsch

Ejemplo

Ejercicios Resueltos

Ejercicios Difíciles

1

Ejemplo resuelto de límites por racionalización

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\sqrt{5+x}-\sqrt{5}}{x}\right)$
2

Simplificando

$\lim_{x\to0}\left(\frac{\sqrt{5+x}-\sqrt{5}}{x}\right)$

Insertar el valor $0$ en el límite

$\frac{\sqrt{5+0}-\sqrt{5}}{0}$

Sumar los valores $5$ y $0$

$\frac{\sqrt{5}-2.2361}{0}$

Calcular la potencia $\sqrt{5}$

$\frac{2.2361-2.2361}{0}$

Restar los valores $2.2361$ y $-2.2361$

$\frac{0}{0}$
3

Si directamente evaluamos el límite $\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sqrt{5+x}-\sqrt{5}}{x}\right)$ cuando $x$ tiende a $0$, podemos ver que nos da como resultado una forma indeterminada

$\frac{0}{0}$
4

Podemos resolver este límite aplicando la regla de L'Hôpital, la cual consiste en encontrar la derivada tanto del numerador como del denominador por separado

$\lim_{x\to 0}\left(\frac{\frac{d}{dx}\left(\sqrt{5+x}-\sqrt{5}\right)}{\frac{d}{dx}\left(x\right)}\right)$

Encontrar la derivada del numerador

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{5+x}-\sqrt{5}\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{5+x}\right)+\frac{d}{dx}\left(-\sqrt{5}\right)$

La derivada de la función constante ($-\sqrt{5}$) es igual a cero

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{5+x}\right)$

Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$

$\frac{1}{2}\left(5+x\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(5+x\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{1}{2}\left(5+x\right)^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{d}{dx}\left(5\right)+\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)$

La derivada de la función constante ($5$) es igual a cero

$\frac{1}{2}\left(5+x\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\frac{1}{2}\left(5+x\right)^{-\frac{1}{2}}$

Encontrar la derivada del denominador

$\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$1$

Cualquier expresión matemática dividida por uno ($1$) es igual a esa misma expresión

$\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{2}\left(5+x\right)^{-\frac{1}{2}}\right)$
5

Después de derivar tanto el numerador como el denominador, el límite resulta en

$\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{2}\left(5+x\right)^{-\frac{1}{2}}\right)$
6

Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$

$\frac{1}{2}\lim_{x\to0}\left(\left(5+x\right)^{-\frac{1}{2}}\right)$
7

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{1}{2}\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{\sqrt{5+x}}\right)$
8

Evaluar el límite reemplazando todas las ocurrencias de $\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{\sqrt{5+x}}\right)$ por $x$

$\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{5+0}}\right)$
9

Sumar los valores $5$ y $0$

$\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$
10

Calcular la potencia $\sqrt{5}$

$\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$
11

Dividir $1$ entre $\sqrt{5}$

$\frac{1}{2}\frac{\sqrt{5}}{5}$
12

Multiplicar $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\frac{1}{2\sqrt{5}}$

Respuesta Final

$\frac{1}{2\sqrt{5}}$$\,\,\left(\approx 0.22360679774997896\right)$

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