Simplificar $\frac{1}{2\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}$ en $\csc\left(2x\right)$ aplicando identidades trigonométricas
Podemos resolver la integral $\int\csc\left(2x\right)dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
La integral de $\csc(x)$ es $-\ln(\cot(x)+\csc(x))$
Multiplicar la fracción y el término en $-\left(\frac{1}{2}\right)\ln\left|\csc\left(u\right)+\cot\left(u\right)\right|$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$
Simplificar $\csc\left(2x\right)+\cot\left(2x\right)$ usando identidades trigonométricas
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
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