Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
Especifica el método de resolución
Reescribir la expresión trigonométrica $\frac{1}{\cos\left(x\right)-1}$ dentro de la integral
Aplicamos la identidad trigonométrica: $-1+\cos\left(\theta \right)^2$$=-\sin\left(\theta \right)^2$
Sacar el término constante $\frac{1}{-1}$ de la integral
Expandir la fracción $\frac{\cos\left(x\right)+1}{\sin\left(x\right)^2}$ en $2$ fracciones más simples con $\sin\left(x\right)^2$ como denominador en común
Simplificamos la expresión dentro de la integral
Podemos resolver la integral $\int\frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)^2}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $\sin\left(x\right)$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
La integral $-\int\frac{1}{u^2}du$ da como resultado: $\csc\left(x\right)$
La integral $-\int\csc\left(x\right)^2dx$ da como resultado: $\cot\left(x\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$