Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
¿Cómo debo resolver este problema?
- Integrar por método tabular
- Integrar por fracciones parciales
- Integrar por cambio de variable
- Integrar por partes
- Integrar por sustitución trigonométrica
- Integración por Sustitución de Weierstrass
- Integrar usando identidades trigonométricas
- Integrar usando integrales básicas
- Producto de Binomios con Término Común
- Método FOIL
- Cargar más...
Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{\cos\left(x\right)-1}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución
Por lo tanto
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Simplificando
La integral de una función por una constante ($2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Resolver el producto $-\left(1+t^{2}\right)$
Simplificamos la expresión
Sacar el término constante $\frac{1}{-2}$ de la integral
Multiplicar la fracción y el término en $2\cdot \left(\frac{1}{-2}\right)\int\frac{1}{t^{2}}dt$
Reescribimos el exponente usando la regla de la potenciación $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, donde en este caso $m=0$
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $-2$
Simplificamos la expresión
Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
