Podemos resolver la integral $\int\frac{\sqrt{x^2-25}}{x^3}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $\sqrt{x^2-25}$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
$u=\sqrt{x^2-25}$
Pasos intermedios
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Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $u$, $dx$ y $x$ en la integral y luego simplificamos
$\int\frac{u^2}{\left(u^{2}+25\right)^{2}}du$
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Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{u^2}{\left(u^{2}+25\right)^{2}}$ en $2$ fracciones más simples
Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B, C, D$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $\left(u^{2}+25\right)^{2}$
Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{u^{2}+25}+\frac{-25}{\left(u^{2}+25\right)^{2}}\right)du$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
La integral $\int\frac{-25}{\left(u^{2}+25\right)^{2}}du$ da como resultado: $-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{\sqrt{x^2-25}}{5}\right)+\frac{5\sqrt{x^2-25}}{2x^2}\right)$
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