👉 Descarga ya NerdPal! Nuestra nueva app de mates en iOS y Android

Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{3y^2}$

Solución Paso a paso

Go!
Modo mate
Modo texto
Go!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$y=\sqrt[3]{x^2+C_0}$
¿Tienes otra respuesta? Verifícala aquí!

Solución explicada paso por paso

Especifica el método de resolución

1

Reescribir la ecuación diferencial en la forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

$3y^2dy-2xdx=0$
2

La ecuación diferencial $3y^2dy-2xdx=0$ es exacta, ya que está escrita en su forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas satisfacen la prueba de exactitud: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. En otras palabras, sus segundas derivadas parciales son iguales. La solución general de la ecuación diferencial es de la forma: $f(x,y)=C$

$3y^2dy-2xdx=0$

Derivar $M(x,y)$ con respecto a $y$

$\frac{d}{dy}\left(-2x\right)$

La derivada de la función constante ($-2x$) es igual a cero

0

Derivar $N(x,y)$ con respecto a $x$

$\frac{d}{dx}\left(3y^2\right)$

La derivada de la función constante ($3y^2$) es igual a cero

0
3

Mediante la prueba de exactitud, comprobamos que la ecuacioó diferencial es exacta

$0=0$

La integral de una función multiplicada por una constante ($-2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-2\int xdx$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$

$-x^2$

Como $y$ es tratada como una constante, debemos agregar una función de $y$ como constante de integración

$-x^2+g(y)$
4

Integramos $M(x,y)$ con respecto a $x$ para obtener

$-x^2+g(y)$

La derivada de la función constante ($-x^2$) es igual a cero

0

La derivada de $g(y)$ es $g'(y)$

$0+g'(y)$
5

Calcular la derivada parcial de $-x^2$ con respecto a $y$ para obtener

$0+g'(y)$

Simplificar y despejar $g'(y)$

$3y^2=0+g$

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión

$3y^2=g$

Reorganizar la ecuación

$g=3y^2$
6

Igualamos $3y^2$ y $0+g'(y)$ y luego despejamos $g'(y)$

$g'(y)=3y^2$

Integrar ambos lados con respecto a $y$

$g=\int3y^2dy$

La integral de una función multiplicada por una constante ($3$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$g=3\int y^2dy$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $2$

$g=1y^{3}$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$g=y^{3}$
7

Encontrar $g(y)$ integrando a ambos lados

$g(y)=y^{3}$
8

Hemos encontrado nuestra $f(x,y)$ y equivale a

$f(x,y)=-x^2+y^{3}$
9

Entonces, la solución a la ecuación diferencial es

$-x^2+y^{3}=C_0$

Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $-x^2$ simultáneamente a ambos miembros de la ecuación

$y^{3}=-\left(-1\right)x^2+C_0$

Multiplicar $-1$ por $-1$

$y^{3}=x^2+C_0$

Eliminamos el exponente de la incógnita elevando ambos lados de la ecuación al exponente $\frac{1}{3}$

$\left(y^{3}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(x^2+C_0\right)^{\frac{1}{3}}$

Dividir $1$ entre $3$

$\sqrt[3]{y^{3}}=\left(x^2+C_0\right)^{\frac{1}{3}}$

Simplificar $\sqrt[3]{y^{3}}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $3$ y $n$ es igual a $\frac{1}{3}$

$y^{3\frac{1}{3}}$

Multiplicar $3$ por $\frac{1}{3}$

$y$

Multiplicar $3$ por $\frac{1}{3}$

$y=\left(x^2+C_0\right)^{\frac{1}{3}}$

Dividir $1$ entre $3$

$y=\sqrt[3]{x^2+C_0}$
10

Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=\sqrt[3]{x^2+C_0}$

Respuesta Final

$y=\sqrt[3]{x^2+C_0}$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

Ecuación Diferencial LinealEcuación Diferencial ExactaEcuación Diferencial SeparableEcuación Diferencial Homogénea

¡Danos tu opinión!

Gráfico de la Función

SnapXam A2
Answer Assistant

beta
¿Tu respuesta es distinta? ¡Compruébala!

Go!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Cómo mejorar tu respuesta:

Tema Principal: Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas.

Tu Tutor de Mates y Física. Potenciado por IA

Disponible 24/7, 365.

Soluciones paso a paso completas. Sin anuncios.

Incluye múltiples métodos de resolución.

Cubrimos más de 100 temas de mates.

Acceso premium en nuestra app de iOS y Android.

Únete a 500k+ estudiantes resolviendo problemas.

Plan de suscripción. Cancela cuando quieras.
¿Tienes un promo code?
Paga $39.97 USD de forma segura con tu método de pago.
Por favor espera mientras se procesa tu pago.
Crear una Cuenta
Plan Especial de 3 Meses
Pago único de $2.97 USD.
Sin renovación automática.
Crear una Cuenta