Solución Paso a paso

Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{3y^2}$

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Respuesta Final

$y=\sqrt[3]{x^2+C_0}$
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Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{3y^2}$
1

Sacar el $\frac{2}{3}$ de la fracción

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{2}{3}x}{y^2}$
2

Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable $y$ al lado izquierdo, y los términos de la variable $x$ del lado derecho de la igualdad

$y^2dy=\frac{2}{3}xdx$
3

Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a $y$, y el lado derecho con respecto a $x$

$\int y^2dy=\int\frac{2}{3}xdx$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $2$

$\frac{y^{3}}{3}$
4

Resolver la integral $\int y^2dy$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$\frac{y^{3}}{3}=\int\frac{2}{3}xdx$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$\frac{2}{3}\int xdx$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$

$\frac{1}{3}x^2$
5

Resolver la integral $\int\frac{2}{3}xdx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$\frac{y^{3}}{3}=\frac{1}{3}x^2$
6

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{y^{3}}{3}=\frac{1}{3}x^2+C_0$

Simplificando la fracción

$\frac{1}{3}y^{3}=\frac{1}{3}x^2+C_0$

Eliminar el $\frac{1}{3}$ del lado izquierdo, multiplicando ambos lados de la ecuación por $$

$y^{3}=3\left(\frac{1}{3}x^2+C_0\right)$

Resolver el producto $3\left(\frac{1}{3}x^2+C_0\right)$

$y^{3}=x^2+3C_0$

Podemos expresar $3C_0$ como otra constante

$y^{3}=x^2+C_0$

Eliminando el exponente de la incógnita

$y=\sqrt[3]{x^2+C_0}$
7

Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial

$y=\sqrt[3]{x^2+C_0}$

Respuesta Final

$y=\sqrt[3]{x^2+C_0}$
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Tips para mejorar tu respuesta:

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{3y^2}$

Tema principal:

Ecuaciones Diferenciales

Fórmulas Relacionadas:

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Tiempo para resolverlo:

~ 0.19 s