Solución Paso a paso

Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{3y^2}$

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Respuesta Final

$y=\sqrt[3]{C_0+x^2}$
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Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{3y^2}$

Elige el método de resolución

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Sacar el $\frac{2}{3}$ de la fracción

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{2}{3}x}{y^2}$
2

Reescribir la ecuación diferencial en la forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

$y^2dy-\frac{2}{3}xdx=0$
3

La ecuación diferencial $y^2dy-\frac{2}{3}xdx=0$ es exacta, ya que está escrita en su forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas satisfacen la prueba de exactitud: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. En otras palabras, sus segundas derivadas parciales son iguales. La solución general de la ecuación diferencial es de la forma: $f(x,y)=C$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{2}{3}x}{y^2}$

Derivar $M(x,y)$ con respecto a $y$

$\frac{d}{dy}\left(-\frac{2}{3}x\right)$

La derivada de la función constante ($-\frac{2}{3}x$) es igual a cero

0

Derivar $N(x,y)$ con respecto a $x$

$\frac{d}{dx}\left(y^2\right)$

La derivada de la función constante ($y^2$) es igual a cero

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Mediante la prueba de exactitud, comprobamos que la ecuacioó diferencial es exacta

$0=0$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-\frac{2}{3}\int xdx$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$

$-\frac{1}{3}x^2$

Como $y$ es tratada como una constante, debemos agregar una función de $y$ como constante de integración

$-\frac{1}{3}x^2+g(y)$
5

Integramos $M(x,y)$ con respecto a $x$ para obtener

$-\frac{1}{3}x^2+g(y)$

La derivada de la función constante ($-\frac{1}{3}x^2$) es igual a cero

0

La derivada de $g(y)$ es $g'(y)$

$0+g'(y)$
6

Calcular la derivada parcial de $-\frac{1}{3}x^2$ con respecto a $y$ para obtener

$0+g'(y)$

Simplificar y despejar $g'(y)$

$y^2=0+g$

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión

$y^2=g$

Reorganizar la ecuación

$g=y^2$
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Igualamos $y^2$ y $0+g'(y)$ y luego despejamos $g'(y)$

$g'(y)=y^2$

Integrar ambos lados con respecto a $y$

$g=\int y^2dy$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $2$

$g=\frac{y^{3}}{3}$
8

Encontrar $g(y)$ integrando a ambos lados

$g(y)=\frac{y^{3}}{3}$
9

Hemos encontrado nuestra $f(x,y)$ y equivale a

$f(x,y)=-\frac{1}{3}x^2+\frac{y^{3}}{3}$
10

Entonces, la solución a la ecuación diferencial es

$-\frac{1}{3}x^2+\frac{y^{3}}{3}=C_0$

Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $-\frac{1}{3}x^2$ a ambos miembros de la ecuación

$\frac{y^{3}}{3}=C_0+\frac{1}{3}x^2$

Simplificando la fracción

$\frac{1}{3}y^{3}=C_0+\frac{1}{3}x^2$

Eliminar el $\frac{1}{3}$ del lado izquierdo, multiplicando ambos lados de la ecuación por el inverso de $\frac{1}{3}$

$y^{3}=3\left(C_0+\frac{1}{3}x^2\right)$

Resolver el producto $3\left(C_0+\frac{1}{3}x^2\right)$

$y^{3}=3C_0+x^2$

Podemos expresar $3C_0$ como otra constante

$y^{3}=C_0+x^2$

Eliminando el exponente de la incógnita

$y=\sqrt[3]{C_0+x^2}$
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Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial

$y=\sqrt[3]{C_0+x^2}$

Respuesta Final

$y=\sqrt[3]{C_0+x^2}$
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Tips para mejorar tu respuesta:

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{3y^2}$

Tema principal:

Ecuaciones Diferenciales

Tiempo para resolverlo:

~ 0.36 s