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Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=e^{\left(3x+2y\right)}$

Solución Paso a paso

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acoth
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Respuesta Final

$y=\frac{-\ln\left(-\frac{2}{3}e^{3x}+C_1\right)}{2}$
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Solución explicada paso por paso

Especifica el método de resolución

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Aplicar la propiedad del producto de dos potencias de igual base de manera inversa: $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$

$\frac{dy}{dx}=e^{3x}e^{2y}$
2

Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable $y$ al lado izquierdo, y los términos de la variable $x$ al lado derecho de la igualdad

$\frac{1}{e^{2y}}dy=e^{3x}dx$
3

Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a $y$, y el lado derecho con respecto a $x$

$\int\frac{1}{e^{2y}}dy=\int e^{3x}dx$

Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{e^{2y}}dy$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2y$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2y$

Ahora, para poder reescribir $dy$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2dy$

Despejando $dy$ de la ecuación anterior

$du=2dy$

Sustituimos $u$ y $dy$ en la integral y luego simplificamos

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{e^u}du$

Aplicamos la regla: $\int\frac{1}{e^x}dx$$=-\frac{1}{e^x}+C$, donde $x=u$

$-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{e^u}\right)$

Simplificar $-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{e^u}\right)$

$\frac{-1}{2e^u}$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2y$

$\frac{-1}{2e^{2y}}$
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Resolver la integral $\int\frac{1}{e^{2y}}dy$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$\frac{-1}{2e^{2y}}=\int e^{3x}dx$

Podemos resolver la integral $\int e^{3x}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $3x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=3x$

Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=3dx$

Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$du=3dx$

Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{e^u}{3}du$

Sacar el término constante $\frac{1}{3}$ de la integral

$\frac{1}{3}\int e^udu$

Dividir $1$ entre $3$

$\frac{1}{3}\int e^udu$

La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$

$\frac{1}{3}e^u$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $3x$

$\frac{1}{3}e^{3x}$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{3}e^{3x}+C_0$
5

Resolver la integral $\int e^{3x}dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$\frac{-1}{2e^{2y}}=\frac{1}{3}e^{3x}+C_0$

Tomar el recíproco de ambos lados de la ecuación

$\frac{2e^{2y}}{-1}=\frac{1}{\frac{1}{3}e^{3x}+C_0}$

Subir el $-1$ del denominador

$-2e^{2y}=\frac{1}{\frac{1}{3}e^{3x}+C_0}$

Dividir ambos lados de la ecuación por $-2$

$\frac{-2e^{2y}}{-2}=\frac{1}{-2\left(\frac{1}{3}e^{3x}+C_0\right)}$

Sacar el $\frac{-2}{-2}$ de la fracción

$e^{2y}=\frac{1}{-2\left(\frac{1}{3}e^{3x}+C_0\right)}$

Simplificar $-2\left(\frac{1}{3}e^{3x}+C_0\right)$ usando álgebra

$e^{2y}=\frac{1}{-2\cdot \frac{1}{3}e^{3x}+C_1}$

Multiplicar $-2$ por $\frac{1}{3}$

$e^{2y}=\frac{1}{-\frac{2}{3}e^{3x}+C_1}$

Podemos sacar la incógnita del exponente aplicando logaritmo natural a ambos lados de la ecuación

$\ln\left(e^{2y}\right)=\ln\left(\frac{1}{-\frac{2}{3}e^{3x}+C_1}\right)$

Aplicamos la regla: $\ln\left(e^x\right)$$=x$, donde $x=2y$

$2y=\ln\left(\frac{1}{-\frac{2}{3}e^{3x}+C_1}\right)$

Simplificar el logaritmo $\ln\left(\frac{1}{-\frac{2}{3}e^{3x}+C_1}\right)$

$2y=-\ln\left(-\frac{2}{3}e^{3x}+C_1\right)$

Dividir ambos lados de la ecuación por $2$

$\frac{2y}{2}=\frac{-\ln\left(-\frac{2}{3}e^{3x}+C_1\right)}{2}$

Simplificando las divisiones

$y=\frac{-\ln\left(-\frac{2}{3}e^{3x}+C_1\right)}{2}$
6

Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=\frac{-\ln\left(-\frac{2}{3}e^{3x}+C_1\right)}{2}$

Respuesta Final

$y=\frac{-\ln\left(-\frac{2}{3}e^{3x}+C_1\right)}{2}$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

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Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas.

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