Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Problema a resolver:
Elige el método de resolución
Reescribir la ecuación diferencial en la forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
La ecuación diferencial $2\left(y+1\right)dy-\left(3x^2+4x+2\right)dx=0$ es exacta, ya que está escrita en su forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas satisfacen la prueba de exactitud: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. En otras palabras, sus segundas derivadas parciales son iguales. La solución general de la ecuación diferencial es de la forma: $f(x,y)=C$
Derivar $M(x,y)$ con respecto a $y$
La derivada de la función constante ($-\left(3x^2+4x+2\right)$) es igual a cero
Derivar $N(x,y)$ con respecto a $x$
La derivada de la función constante ($2\left(y+1\right)$) es igual a cero
Mediante la prueba de exactitud, comprobamos que la ecuacioó diferencial es exacta
La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Expandir la integral $\int\left(3x^2+4x+2\right)dx$ en $3$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $2$
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$
Como $y$ es tratada como una constante, debemos agregar una función de $y$ como constante de integración
Integramos $M(x,y)$ con respecto a $x$ para obtener
La derivada de la función constante ($-x^{3}-2x^2-2x$) es igual a cero
La derivada de $g(y)$ es $g'(y)$
Calcular la derivada parcial de $-x^{3}-2x^2-2x$ con respecto a $y$ para obtener
Simplificar y despejar $g'(y)$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
Eliminar el $2$ del lado izquierdo, multiplicando ambos lados de la ecuación por el inverso de $2$
Reorganizar la ecuación
Eliminar el $\frac{1}{2}$ del lado izquierdo, multiplicando ambos lados de la ecuación por el inverso de $\frac{1}{2}$
Resolver el producto $2\left(y+1\right)$
Igualamos $2\left(y+1\right)$ y $0+g'(y)$ y luego despejamos $g'(y)$
Integrar ambos lados con respecto a $y$
Expandir la integral $\int\left(2y+2\right)dy$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$
Encontrar $g(y)$ integrando a ambos lados
Hemos encontrado nuestra $f(x,y)$ y equivale a
Entonces, la solución a la ecuación diferencial es
Agrupar los términos de la ecuación
Factorizar el polinomio $y^2+2y$. Sumar y restar $\left(\frac{b}{2}\right)^2$, reemplazando $b$ por su valor $2$
Ahora, podemos factorizar el trinomio $y^2+2x+1$ como un binomio al cuadrado de la forma $\left(x+\frac{b}{2}\right)^2$
Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $-1$ a ambos miembros de la ecuación
Podemos combinar y renombrar $1+C_0$ como otra constante de integración
Eliminando el exponente de la incógnita
Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $1$ a ambos miembros de la ecuación
Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\sqrt{2x^2+C_0+x^{3}+2x}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo
Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial