Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Problema a resolver:
Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable $y$ al lado izquierdo, y los términos de la variable $x$ del lado derecho de la igualdad
Resolver el producto $2\left(y+1\right)$
Simplificar la expresión $2\left(y+1\right)dy$
Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a $y$, y el lado derecho con respecto a $x$
Expandir la integral $\int\left(2y+2\right)dy$ usando la regla de la integral de una suma de funciones
La integral de la suma de dos o más términos se puede reescribir como la integral de cada término por separado
Expandir la integral $\int\left(4x+2\right)dx$ usando la regla de la integral de una suma de funciones
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
Resolver la integral $\int2ydy+\int2dy$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
Resolver la integral $\int3x^2dx+\int4xdx+\int2dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Factorizar el polinomio $y^2+2y$. Sumar y restar $\left(\frac{b}{2}\right)^2$, reemplazando $b$ por su valor $2$
Ahora, podemos factorizar el trinomio $y^2+2x+1$ como un binomio al cuadrado de la forma $\left(x+\frac{b}{2}\right)^2$
Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $-1$ a ambos miembros de la ecuación
Podemos combinar y renombrar $1+C_0$ como otra constante de integración
Eliminando el exponente de la incógnita
Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $1$ a ambos miembros de la ecuación
Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\sqrt{3x^{3}+2x+4x^2+C_0}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo
Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial