Solución Paso a paso

Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+4x+2}{2\left(y+1\right)}$

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Respuesta Final

$y=-1+\sqrt{3x^{3}+2x+4x^2+C_0},\:y=-1-\sqrt{3x^{3}+2x+4x^2+C_0}$
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Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+4x+2}{2\left(y+1\right)}$
1

Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable $y$ al lado izquierdo, y los términos de la variable $x$ del lado derecho de la igualdad

$2\left(y+1\right)dy=\left(3x^2+4x+2\right)dx$

Resolver el producto $2\left(y+1\right)$

$\left(2y+2\right)dy$
2

Simplificar la expresión $2\left(y+1\right)dy$

$\left(2y+2\right)dy=\left(3x^2+4x+2\right)dx$
3

Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a $y$, y el lado derecho con respecto a $x$

$\int\left(2y+2\right)dy=\int\left(3x^2+4x+2\right)dx$
4

Expandir la integral $\int\left(2y+2\right)dy$ usando la regla de la integral de una suma de funciones

$\int2ydy+\int2dy=\int\left(3x^2+4x+2\right)dx$
5

La integral de la suma de dos o más términos se puede reescribir como la integral de cada término por separado

$\int2ydy+\int2dy=\int3x^2dx+\int\left(4x+2\right)dx$
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Expandir la integral $\int\left(4x+2\right)dx$ usando la regla de la integral de una suma de funciones

$\int2ydy+\int2dy=\int3x^2dx+\int4xdx+\int2dx$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$\int2ydy+2y$
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Resolver la integral $\int2ydy+\int2dy$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$y^2+2y=\int3x^2dx+\int4xdx+\int2dx$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$\int2ydy+2y$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$\int2ydy+2y$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$\int2ydy+2y$
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Resolver la integral $\int3x^2dx+\int4xdx+\int2dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$y^2+2y=3x^{3}+4x^2+2x$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$y^2+2y=3x^{3}+4x^2+2x+C_0$

Factorizar el polinomio $y^2+2y$. Sumar y restar $\left(\frac{b}{2}\right)^2$, reemplazando $b$ por su valor $2$

$y^2+2y+1-1=3x^{3}+4x^2+2x+C_0$

Ahora, podemos factorizar el trinomio $y^2+2x+1$ como un binomio al cuadrado de la forma $\left(x+\frac{b}{2}\right)^2$

$\left(y+1\right)^2-1=3x^{3}+4x^2+2x+C_0$

Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $-1$ a ambos miembros de la ecuación

$\left(y+1\right)^2=3x^{3}+4x^2+2x+C_0+1$

Podemos combinar y renombrar $1+C_0$ como otra constante de integración

$\left(y+1\right)^2=3x^{3}+2x+4x^2+C_0$

Eliminando el exponente de la incógnita

$y+1=\pm \sqrt{3x^{3}+2x+4x^2+C_0}$

Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $1$ a ambos miembros de la ecuación

$y=\pm \sqrt{3x^{3}+2x+4x^2+C_0}-1$

Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\sqrt{3x^{3}+2x+4x^2+C_0}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo

$y=-1+\sqrt{3x^{3}+2x+4x^2+C_0},\:y=-1-\sqrt{3x^{3}+2x+4x^2+C_0}$
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Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial

$y=-1+\sqrt{3x^{3}+2x+4x^2+C_0},\:y=-1-\sqrt{3x^{3}+2x+4x^2+C_0}$

Respuesta Final

$y=-1+\sqrt{3x^{3}+2x+4x^2+C_0},\:y=-1-\sqrt{3x^{3}+2x+4x^2+C_0}$
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