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Solución Paso a paso

Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+4x+2}{2\left(y+1\right)}$

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Respuesta Final

$y=-1+\sqrt{2x^2+C_0+x^{3}+2x},\:y=-1-\sqrt{2x^2+C_0+x^{3}+2x}$
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Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+4x+2}{2\left(y+1\right)}$

Elige el método de resolución

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Reescribir la ecuación diferencial en la forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

$2\left(y+1\right)dy-\left(3x^2+4x+2\right)dx=0$
2

La ecuación diferencial $2\left(y+1\right)dy-\left(3x^2+4x+2\right)dx=0$ es exacta, ya que está escrita en su forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas satisfacen la prueba de exactitud: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. En otras palabras, sus segundas derivadas parciales son iguales. La solución general de la ecuación diferencial es de la forma: $f(x,y)=C$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+4x+2}{2\left(y+1\right)}$

Derivar $M(x,y)$ con respecto a $y$

$\frac{d}{dy}\left(-\left(3x^2+4x+2\right)\right)$

La derivada de la función constante ($-\left(3x^2+4x+2\right)$) es igual a cero

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Derivar $N(x,y)$ con respecto a $x$

$\frac{d}{dx}\left(2\left(y+1\right)\right)$

La derivada de la función constante ($2\left(y+1\right)$) es igual a cero

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Mediante la prueba de exactitud, comprobamos que la ecuacioó diferencial es exacta

$0=0$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-\int\left(3x^2+4x+2\right)dx$

Expandir la integral $\int\left(3x^2+4x+2\right)dx$ en $3$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$-\int3x^2dx-\int4xdx-\int2dx$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$-\int3x^2dx-\int4xdx-2x$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-3\int x^2dx-\int4xdx-2x$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-3\int x^2dx-4\int xdx-2x$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $2$

$-x^{3}-4\int xdx-2x$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$

$-x^{3}-2x^2-2x$

Como $y$ es tratada como una constante, debemos agregar una función de $y$ como constante de integración

$-x^{3}-2x^2-2x+g(y)$
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Integramos $M(x,y)$ con respecto a $x$ para obtener

$-x^{3}-2x^2-2x+g(y)$

La derivada de la función constante ($-x^{3}-2x^2-2x$) es igual a cero

0

La derivada de $g(y)$ es $g'(y)$

$0+g'(y)$
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Calcular la derivada parcial de $-x^{3}-2x^2-2x$ con respecto a $y$ para obtener

$0+g'(y)$

Simplificar y despejar $g'(y)$

$2\left(y+1\right)=0+g$

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión

$2\left(y+1\right)=g$

Eliminar el $2$ del lado izquierdo, multiplicando ambos lados de la ecuación por el inverso de $2$

$y+1=\frac{1}{2}g$

Reorganizar la ecuación

$\frac{1}{2}g=y+1$

Eliminar el $\frac{1}{2}$ del lado izquierdo, multiplicando ambos lados de la ecuación por el inverso de $\frac{1}{2}$

$g=2\left(y+1\right)$

Resolver el producto $2\left(y+1\right)$

$g=2y+2$
6

Igualamos $2\left(y+1\right)$ y $0+g'(y)$ y luego despejamos $g'(y)$

$g'(y)=2y+2$

Integrar ambos lados con respecto a $y$

$g=\int\left(2y+2\right)dy$

Expandir la integral $\int\left(2y+2\right)dy$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$g=\int2ydy+\int2dy$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$g=\int2ydy+2y$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$g=2\int ydy+2y$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$

$g=y^2+2y$
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Encontrar $g(y)$ integrando a ambos lados

$g(y)=y^2+2y$
8

Hemos encontrado nuestra $f(x,y)$ y equivale a

$f(x,y)=-x^{3}-2x^2-2x+y^2+2y$
9

Entonces, la solución a la ecuación diferencial es

$-x^{3}-2x^2-2x+y^2+2y=C_0$

Agrupar los términos de la ecuación

$y^2+2y=C_0+x^{3}+2x^2+2x$

Factorizar el polinomio $y^2+2y$. Sumar y restar $\left(\frac{b}{2}\right)^2$, reemplazando $b$ por su valor $2$

$y^2+2y+1-1=C_0+x^{3}+2x^2+2x$

Ahora, podemos factorizar el trinomio $y^2+2x+1$ como un binomio al cuadrado de la forma $\left(x+\frac{b}{2}\right)^2$

$\left(y+1\right)^2-1=C_0+x^{3}+2x^2+2x$

Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $-1$ a ambos miembros de la ecuación

$\left(y+1\right)^2=C_0+x^{3}+2x^2+2x+1$

Podemos combinar y renombrar $1+C_0$ como otra constante de integración

$\left(y+1\right)^2=2x^2+C_0+x^{3}+2x$

Eliminando el exponente de la incógnita

$y+1=\pm \sqrt{2x^2+C_0+x^{3}+2x}$

Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $1$ a ambos miembros de la ecuación

$y=\pm \sqrt{2x^2+C_0+x^{3}+2x}-1$

Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\sqrt{2x^2+C_0+x^{3}+2x}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo

$y=-1+\sqrt{2x^2+C_0+x^{3}+2x},\:y=-1-\sqrt{2x^2+C_0+x^{3}+2x}$
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Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial

$y=-1+\sqrt{2x^2+C_0+x^{3}+2x},\:y=-1-\sqrt{2x^2+C_0+x^{3}+2x}$

Respuesta Final

$y=-1+\sqrt{2x^2+C_0+x^{3}+2x},\:y=-1-\sqrt{2x^2+C_0+x^{3}+2x}$
SnapXam A2
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Tips para mejorar tu respuesta:

$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+4x+2}{2\left(y+1\right)}$

Tema principal:

Ecuaciones Diferenciales

Tiempo para resolverlo:

~ 0.28 s