Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Problema a resolver:
Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable $y$ al lado izquierdo, y los términos de la variable $x$ del lado derecho de la igualdad
Resolver el producto $2\left(y+1\right)$
Simplificar la expresión $2\left(y+1\right)dy$
Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a $y$, y el lado derecho con respecto a $x$
Expandir la integral $\int\left(2y+2\right)dy$
La integral de la suma de dos o más términos se puede reescribir como la integral de cada término por separado
Expandir la integral $\int\left(4x+2\right)dx$
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$
Resolver la integral $\int2ydy+\int2dy$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $2$
Simplificar la fracción $3\left(\frac{x^{3}}{3}\right)$
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$
Resolver la integral $\int3x^2dx+\int4xdx+\int2dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Factorizar el polinomio $y^2+2y$. Sumar y restar $\left(\frac{b}{2}\right)^2$, reemplazando $b$ por su valor $2$
Ahora, podemos factorizar el trinomio $y^2+2x+1$ como un binomio al cuadrado de la forma $\left(x+\frac{b}{2}\right)^2$
Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $-1$ a ambos miembros de la ecuación
Podemos renombrar $1+C_0$ como otra constante
Eliminando el exponente de la incógnita
Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $1$ a ambos miembros de la ecuación
Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\sqrt{x^{3}+2x+2x^2+C_0}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo
Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial