Solución Paso a paso

Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+4x+2}{2\left(y+1\right)}$

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y
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.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$y=-1+\sqrt{x^{3}+2x+2x^2+C_0},\:y=-1-\sqrt{x^{3}+2x+2x^2+C_0}$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2+4x+2}{2\left(y+1\right)}$
1

Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable $y$ al lado izquierdo, y los términos de la variable $x$ del lado derecho de la igualdad

$2\left(y+1\right)dy=\left(3x^2+4x+2\right)dx$

Resolver el producto $2\left(y+1\right)$

$\left(2y+2\right)dy$
2

Simplificar la expresión $2\left(y+1\right)dy$

$\left(2y+2\right)dy=\left(3x^2+4x+2\right)dx$
3

Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a $y$, y el lado derecho con respecto a $x$

$\int\left(2y+2\right)dy=\int\left(3x^2+4x+2\right)dx$
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Expandir la integral $\int\left(2y+2\right)dy$

$\int2ydy+\int2dy=\int\left(3x^2+4x+2\right)dx$
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La integral de la suma de dos o más términos se puede reescribir como la integral de cada término por separado

$\int2ydy+\int2dy=\int3x^2dx+\int\left(4x+2\right)dx$
6

Expandir la integral $\int\left(4x+2\right)dx$

$\int2ydy+\int2dy=\int3x^2dx+\int4xdx+\int2dx$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$\int2ydy+2y$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$2\int ydy+2y$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$

$y^2+2y$
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Resolver la integral $\int2ydy+\int2dy$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$y^2+2y=\int3x^2dx+\int4xdx+\int2dx$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$\int3x^2dx+\int4xdx+2x$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$3\int x^2dx+\int4xdx+2x$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$3\int x^2dx+4\int xdx+2x$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $2$

$3\left(\frac{x^{3}}{3}\right)+4\int xdx+2x$

Simplificar la fracción $3\left(\frac{x^{3}}{3}\right)$

$x^{3}+4\int xdx+2x$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$

$x^{3}+2x^2+2x$
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Resolver la integral $\int3x^2dx+\int4xdx+\int2dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$y^2+2y=x^{3}+2x^2+2x$
9

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$y^2+2y=x^{3}+2x^2+2x+C_0$

Factorizar el polinomio $y^2+2y$. Sumar y restar $\left(\frac{b}{2}\right)^2$, reemplazando $b$ por su valor $2$

$y^2+2y+1-1=x^{3}+2x^2+2x+C_0$

Ahora, podemos factorizar el trinomio $y^2+2x+1$ como un binomio al cuadrado de la forma $\left(x+\frac{b}{2}\right)^2$

$\left(y+1\right)^2-1=x^{3}+2x^2+2x+C_0$

Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $-1$ a ambos miembros de la ecuación

$\left(y+1\right)^2=x^{3}+2x^2+2x+C_0+1$

Podemos renombrar $1+C_0$ como otra constante

$\left(y+1\right)^2=x^{3}+2x+2x^2+C_0$

Eliminando el exponente de la incógnita

$y+1=\pm \sqrt{x^{3}+2x+2x^2+C_0}$

Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $1$ a ambos miembros de la ecuación

$y=\pm \sqrt{x^{3}+2x+2x^2+C_0}-1$

Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\sqrt{x^{3}+2x+2x^2+C_0}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo

$y=-1+\sqrt{x^{3}+2x+2x^2+C_0},\:y=-1-\sqrt{x^{3}+2x+2x^2+C_0}$
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Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial

$y=-1+\sqrt{x^{3}+2x+2x^2+C_0},\:y=-1-\sqrt{x^{3}+2x+2x^2+C_0}$

Respuesta Final

$y=-1+\sqrt{x^{3}+2x+2x^2+C_0},\:y=-1-\sqrt{x^{3}+2x+2x^2+C_0}$