Respuesta final al problema
$\frac{\mathrm{arcsec}\left(\frac{x}{5}\right)}{10}+\frac{-\sqrt{x^2-25}}{2x^2}+C_0$
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1
Podemos resolver la integral $\int\frac{\sqrt{x^2-25}}{x^3}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable
$x=5\sec\left(\theta \right)$
Pasos intermedios
2
Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
$dx=5\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)d\theta$
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3
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
$\int\frac{\frac{1}{25}\sqrt{25\sec\left(\theta \right)^2-25}\sec\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)}{\sec\left(\theta \right)^3}d\theta$
Pasos intermedios
$\int\frac{\sqrt{25\sec\left(\theta \right)^2-25}\tan\left(\theta \right)}{25\sec\left(\theta \right)^{2}}d\theta$
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5
Factoizar el polinomio $25\sec\left(\theta \right)^2-25$ por su máximo común divisor (MCD): $25$
$\int\frac{\sqrt{25\left(\sec\left(\theta \right)^2-1\right)}\tan\left(\theta \right)}{25\sec\left(\theta \right)^{2}}d\theta$
6
Aplicando la regla de potencia de un producto
$\int\frac{5\sqrt{\sec\left(\theta \right)^2-1}\tan\left(\theta \right)}{25\sec\left(\theta \right)^{2}}d\theta$
7
Aplicamos la identidad trigonométrica: $\sec\left(\theta \right)^2-1$$=\tan\left(\theta \right)^2$, donde $x=\theta $
$\int\frac{5\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2}\tan\left(\theta \right)}{25\sec\left(\theta \right)^{2}}d\theta$
8
Sacar la parte constante ($5$) de la integral
$5\int\frac{\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2}\tan\left(\theta \right)}{25\sec\left(\theta \right)^{2}}d\theta$
9
Simplificar $\sqrt{\tan\left(\theta \right)^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$
$5\int\frac{\tan\left(\theta \right)\tan\left(\theta \right)}{25\sec\left(\theta \right)^{2}}d\theta$
10
Al multiplicar dos potencias de igual base ($\tan\left(\theta \right)$), se pueden sumar los exponentes
$5\int\frac{\tan\left(\theta \right)^2}{25\sec\left(\theta \right)^{2}}d\theta$
11
Aplicamos la identidad trigonométrica: $\frac{\tan\left(\theta \right)^n}{\sec\left(\theta \right)^n}$$=\sin\left(\theta \right)^n$, donde $x=\theta $ y $n=2$
$5\int\frac{\sin\left(\theta \right)^2}{25}d\theta$
12
Sacar el término constante $\frac{1}{25}$ de la integral
$5\cdot \left(\frac{1}{25}\right)\int\sin\left(\theta \right)^2d\theta$
Pasos intermedios
13
Simplificamos la expresión dentro de la integral
$\frac{1}{5}\int\sin\left(\theta \right)^2d\theta$
Explicar más este paso
14
Aplicamos la regla: $\int\sin\left(\theta \right)^2dx$$=\frac{\theta }{2}-\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)+C$, donde $x=\theta $
$\frac{1}{5}\left(\frac{\theta }{2}-\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)\right)$
15
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
$\frac{1}{5}\left(\frac{\mathrm{arcsec}\left(\frac{x}{5}\right)}{2}-\frac{1}{4}\sin\left(2\theta \right)\right)$
16
Aplicando la identidad del seno de doble ángulo: $\sin\left(2\theta\right)=2\sin\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)$
$\frac{1}{5}\left(\frac{\mathrm{arcsec}\left(\frac{x}{5}\right)}{2}-\frac{1}{2}\sin\left(\theta \right)\cos\left(\theta \right)\right)$
¿Por qué es sin(2x) = 2sin(x)cos(x) ?
Pasos intermedios
17
Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$
$\frac{1}{5}\left(\frac{\mathrm{arcsec}\left(\frac{x}{5}\right)}{2}+\frac{-5\sqrt{x^2-25}}{2x^2}\right)$
Explicar más este paso
18
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
$\frac{1}{5}\left(\frac{\mathrm{arcsec}\left(\frac{x}{5}\right)}{2}+\frac{-5\sqrt{x^2-25}}{2x^2}\right)+C_0$
Pasos intermedios
19
Expandir y simplificar
$\frac{\mathrm{arcsec}\left(\frac{x}{5}\right)}{10}+\frac{-\sqrt{x^2-25}}{2x^2}+C_0$
Explicar más este paso
Respuesta final al problema
$\frac{\mathrm{arcsec}\left(\frac{x}{5}\right)}{10}+\frac{-\sqrt{x^2-25}}{2x^2}+C_0$