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Conceptos

Calcular la integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$

Solución Paso a paso

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Solución

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Respuesta Final

$\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)+C_0$
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Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\frac{x}{x^2-1}dx$

Especifica el método de resolución

Factorizar la diferencia de cuadrados $x^2-1$ como el producto de dos binomios conjugados

$\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$
1

Reescribir la expresión $\frac{x}{x^2-1}$ que está dentro de la integral en forma factorizada

$\int\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}dx$
2

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$
3

Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $\left(x+1\right)\left(x-1\right)$

$x=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}\right)$
4

Multiplicando polinomios

$x=\frac{A\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1}+\frac{B\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1}$
5

Simplificando

$x=A\left(x-1\right)+B\left(x+1\right)$
6

Expandir el polinomio

$x=Ax-A+Bx+B$
7

Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}-1=-2A&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1) \\ 1=2B&\:\:\:\:\:\:\:(x=1)\end{matrix}$
8

Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix} -2A & + & 0B & =-1 \\ 0A & + & 2B & =1\end{matrix}$
9

Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}-2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1\end{matrix}\right)$
10

Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$
11

La integral de $\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en forma descompuesta equivale a

$\int\left(\frac{1}{2\left(x+1\right)}+\frac{1}{2\left(x-1\right)}\right)dx$
12

Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{2\left(x+1\right)}+\frac{1}{2\left(x-1\right)}\right)dx$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$\int\frac{1}{2\left(x+1\right)}dx+\int\frac{1}{2\left(x-1\right)}dx$

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{x+1}dx$

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=n\ln\left(x+b\right)+C$, donde $b=1$ y $n=1$

$\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)$
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La integral $\int\frac{1}{2\left(x+1\right)}dx$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)$

$\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)$

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{x-1}dx$

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=n\ln\left(x+b\right)+C$, donde $b=-1$ y $n=1$

$\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)$
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La integral $\int\frac{1}{2\left(x-1\right)}dx$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)$

$\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)$
15

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)$
16

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)+C_0$

Respuesta Final

$\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)+C_0$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

Resolver int(x/(x^2-1.0))dx usando fracciones parcialesResolver int(x/(x^2-1.0))dx usando integrales básicasResolver int(x/(x^2-1.0))dx por cambio de variableResolver int(x/(x^2-1.0))dx usando integración por partesResolver int(x/(x^2-1.0))dx usando sustitución trigonométrica
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Tema principal:

Integrales por Fracciones Parciales

Fórmulas utilizadas:

3. Ver fórmulas

Tiempo para resolverlo:

~ 0.1 s

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