Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
Simplificar $\sqrt{x^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$
Calcular la potencia $\sqrt{1}$
Simplificar $\sqrt{x^2}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresión, $m$ es igual a $2$ y $n$ es igual a $\frac{1}{2}$
Calcular la potencia $\sqrt{1}$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Reescribir la expresión $\frac{x}{x^2-1}$ que está dentro de la integral en forma factorizada
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en $2$ fracciones más simples
Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $\left(x+1\right)\left(x-1\right)$
Multiplicando polinomios
Simplificando
Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales
Reescribimos los coeficientes en forma de matriz
Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan
La integral de $\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en forma descompuesta equivale a
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en $2$ fracciones más simples
Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{2\left(x+1\right)}+\frac{1}{2\left(x-1\right)}\right)dx$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, donde $b=1$ y $n=1$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
La integral $\int\frac{1}{2\left(x+1\right)}dx$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)$
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C$, donde $b=-1$ y $n=1$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
La integral $\int\frac{1}{2\left(x-1\right)}dx$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
