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Calcular la integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$

Solución Paso a paso

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Respuesta final al problema

$\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|+C_0$
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Solución explicada paso por paso

¿Cómo debo resolver este problema?

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Reescribir la expresión $\frac{x}{x^2-1}$ que está dentro de la integral en forma factorizada

$\int\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}dx$
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Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$
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Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $\left(x+1\right)\left(x-1\right)$

$x=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}\right)$
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Multiplicando polinomios

$x=\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)A}{x+1}+\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)B}{x-1}$
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Simplificando

$x=\left(x-1\right)A+\left(x+1\right)B$
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Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}-1=-2A&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1) \\ 1=2B&\:\:\:\:\:\:\:(x=1)\end{matrix}$
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Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix} -2A & + & 0B & =-1 \\ 0A & + & 2B & =1\end{matrix}$
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Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}-2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1\end{matrix}\right)$
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Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$
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La integral de $\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en forma descompuesta equivale a

$\int\left(\frac{1}{2\left(x+1\right)}+\frac{1}{2\left(x-1\right)}\right)dx$
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Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{2\left(x+1\right)}+\frac{1}{2\left(x-1\right)}\right)dx$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

$\int\frac{1}{2\left(x+1\right)}dx+\int\frac{1}{2\left(x-1\right)}dx$
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La integral $\int\frac{1}{2\left(x+1\right)}dx$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|$

$\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|$
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La integral $\int\frac{1}{2\left(x-1\right)}dx$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|$

$\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|+C_0$

Respuesta final al problema

$\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|+C_0$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

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Gráfico de la Función

Gráfico de: $\frac{1}{2}\ln\left|x+1\right|+\frac{1}{2}\ln\left|x-1\right|+C_0$

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Cómo mejorar tu respuesta:

Tema Principal: Integrales por Fracciones Parciales

El método de descomposición en fracciones simples o fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral.

Fórmulas Usadas

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