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Calcular la integral $\int x\cos\left(2x^2+3\right)dx$

Solución Paso a paso

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Respuesta Final

$\frac{1}{4}\sin\left(2x^2+3\right)+C_0$
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Solución explicada paso por paso

Especifica el método de resolución

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Podemos resolver la integral $\int x\cos\left(2x^2+3\right)dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x^2+3$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2x^2+3$
2

Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=4xdx$
3

Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{4x}=dx$
4

Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{\cos\left(u\right)}{4}du$
5

Sacar el término constante $\frac{1}{4}$ de la integral

$\frac{1}{4}\int\cos\left(u\right)du$
6

Podemos resolver la integral $\int\cos\left(u\right)du$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
7

Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=\cos\left(u\right)}\\ \displaystyle{du=-\sin\left(u\right)du}\end{matrix}$
8

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=1du}\\ \displaystyle{\int dv=\int 1du}\end{matrix}$
9

Calcular la integral

$v=\int1du$
10

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$u$
11

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$\frac{1}{4}\left(u\cos\left(u\right)+\int u\sin\left(u\right)du\right)$
12

Multiplicar el término $\frac{1}{4}$ por cada término del polinomio $\left(u\cos\left(u\right)+\int u\sin\left(u\right)du\right)$

$\frac{1}{4}u\cos\left(u\right)+\frac{1}{4}\int u\sin\left(u\right)du$
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Podemos resolver la integral $\int u\sin\left(u\right)du$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
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Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=u}\\ \displaystyle{du=du}\end{matrix}$
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Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\sin\left(u\right)du}\\ \displaystyle{\int dv=\int \sin\left(u\right)du}\end{matrix}$
16

Calcular la integral

$v=\int\sin\left(u\right)du$
17

La integral del seno de función es igual a menos el coseno de la misma función, en otras palabras: $\int\sin(x)dx=-\cos(x)$

$-\cos\left(u\right)$
18

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$\frac{1}{4}u\cos\left(u\right)+\frac{1}{4}\left(-u\cos\left(u\right)+\int\cos\left(u\right)du\right)$
19

Multiplicar el término $\frac{1}{4}$ por cada término del polinomio $\left(-u\cos\left(u\right)+\int\cos\left(u\right)du\right)$

$\frac{1}{4}u\cos\left(u\right)-\frac{1}{4}u\cos\left(u\right)+\frac{1}{4}\int\cos\left(u\right)du$
20

Simplificamos la expresión dentro de la integral

$\frac{1}{4}\int\cos\left(u\right)du$
21

La integral del coseno de una función es igual al seno de la misma función, en otras palabras: $\int\cos(x)dx=\sin(x)$

$\frac{1}{4}\sin\left(u\right)$
22

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x^2+3$

$\frac{1}{4}\sin\left(2x^2+3\right)$
23

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{4}\sin\left(2x^2+3\right)+C_0$

Respuesta Final

$\frac{1}{4}\sin\left(2x^2+3\right)+C_0$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

Resolver integral de xcos(2x^2+3)dx usando integrales básicasResolver integral de xcos(2x^2+3)dx por cambio de variableResolver integral de xcos(2x^2+3)dx por método tabular

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Tema Principal: Cálculo Integral

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

Fórmulas Usadas

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