Respuesta Final
$\frac{6}{3x+2}+\frac{-4x^{3}}{x^4+7}$
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Solución explicada paso por paso
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Hallar la derivada Hallar la derivada con la regla del producto Hallar la derivada con la regla del cociente Diferenciación Logarítmica Derivar usando la definición Sugerir otro método
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1
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(\left(3x+2\right)^2\right)-\ln\left(x^4+7\right)\right)$
2
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$
$\frac{d}{dx}\left(2\ln\left(3x+2\right)-\ln\left(x^4+7\right)\right)$
3
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{d}{dx}\left(2\ln\left(3x+2\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(-\ln\left(x^4+7\right)\right)$
Pasos intermedios
4
La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función
$2\frac{d}{dx}\left(\ln\left(3x+2\right)\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^4+7\right)\right)$
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Pasos intermedios
5
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$2\left(\frac{1}{3x+2}\right)\frac{d}{dx}\left(3x+2\right)-\left(\frac{1}{x^4+7}\right)\frac{d}{dx}\left(x^4+7\right)$
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6
Multiplicando la fracción por $-1$
$2\left(\frac{1}{3x+2}\right)\frac{d}{dx}\left(3x+2\right)+\frac{-1}{x^4+7}\frac{d}{dx}\left(x^4+7\right)$
7
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$2\left(\frac{1}{3x+2}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(3x\right)+\frac{d}{dx}\left(2\right)\right)+\frac{-1}{x^4+7}\frac{d}{dx}\left(x^4+7\right)$
8
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$2\left(\frac{1}{3x+2}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(3x\right)+\frac{d}{dx}\left(2\right)\right)+\frac{-1}{x^4+7}\left(\frac{d}{dx}\left(x^4\right)+\frac{d}{dx}\left(7\right)\right)$
9
La derivada de la función constante ($2$) es igual a cero
$2\left(\frac{1}{3x+2}\right)\frac{d}{dx}\left(3x\right)+\frac{-1}{x^4+7}\left(\frac{d}{dx}\left(x^4\right)+\frac{d}{dx}\left(7\right)\right)$
10
La derivada de la función constante ($7$) es igual a cero
$2\left(\frac{1}{3x+2}\right)\frac{d}{dx}\left(3x\right)+\frac{-1}{x^4+7}\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
Pasos intermedios
11
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
$6\left(\frac{1}{3x+2}\right)\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{-1}{x^4+7}\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
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Pasos intermedios
12
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$6\left(\frac{1}{3x+2}\right)+\frac{-1}{x^4+7}\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
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13
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{6}{3x+2}+\frac{-1}{x^4+7}\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
Pasos intermedios
14
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{6}{3x+2}+4\left(\frac{-1}{x^4+7}\right)x^{3}$
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15
Multiplicando la fracción por el término $4x^{3}$
$\frac{6}{3x+2}+\frac{-4x^{3}}{x^4+7}$
Respuesta Final$\frac{6}{3x+2}+\frac{-4x^{3}}{x^4+7}$