Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
Especifica el método de resolución
Calcular la integral
Reescribimos la fracción $\frac{\left(1-x^2\right)^2}{x^2+2x+1}$ dentro de la integral como un producto de dos funciones: $\left(1-x^2\right)^2\frac{1}{x^2+2x+1}$
Podemos resolver la integral $\int\left(1-x^2\right)^2\frac{1}{x^2+2x+1}dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral
El trinomio $x^2+2x+1$ es un trinomio cuadrado perfecto, ya que su discriminante es igual a cero
Utilizamos la relación del trinomio cuadrado perfecto
Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto
Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{\left(x+1\right)^{2}}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x+1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Reescribimos el exponente usando la regla de la potenciación $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, donde en este caso $m=0$
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $-2$
Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x+1$
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
La integral $4\int\frac{\left(1-x^2\right)x}{-x-1}dx$ da como resultado: $-2x^2-\frac{4}{3}x^{3}$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$