Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
Especifica el método de resolución
Reescribir la expresión $\frac{1}{3x^2+6x+5}$ que está dentro de la integral en forma factorizada
Sacar el término constante $\frac{1}{3}$ de la integral
Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{\frac{2}{3}+\left(x+1\right)^2}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x+1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Podemos resolver la integral aplicando la fórmula $\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$
Simplificamos la expresión dentro de la integral
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x+1$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$