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Calcular la integral $\int\frac{1}{3x^2+6x+5}dx$

Solución Paso a paso

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$\frac{\sqrt{6}}{6}\arctan\left(1.2247475x+1.2247475\right)+C_0$
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Solución explicada paso por paso

Especifica el método de resolución

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Reescribir la expresión $\frac{1}{3x^2+6x+5}$ que está dentro de la integral en forma factorizada

$\int\frac{1}{3\left(\left(x+1\right)^2+\frac{2}{3}\right)}dx$
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Sacar el término constante $\frac{1}{3}$ de la integral

$\frac{1}{3}\int\frac{1}{\left(x+1\right)^2+\frac{2}{3}}dx$
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Podemos resolver la integral $\frac{1}{3}\int\frac{1}{\left(x+1\right)^2+\frac{2}{3}}dx$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

$x=\frac{\sqrt{6}}{3}\tan\left(\theta \right)-1$
4

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $dx$, necesitamos encontrar la derivada de $x$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dx$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$dx=\frac{\sqrt{6}}{3}\sec\left(\theta \right)^2d\theta$
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Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\frac{1}{3}\int\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{2}{3}\tan\left(\theta \right)^2+\frac{2}{3}}d\theta$
6

Factoizar el polinomio $\frac{2}{3}\tan\left(\theta \right)^2+\frac{2}{3}$ por su máximo común divisor (MCD): $\frac{2}{3}$

$\frac{1}{3}\int\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{2}{3}\left(\tan\left(\theta \right)^2+1\right)}d\theta$
7

Aplicando la identidad trigonométrica: $1+\tan\left(\theta \right)^2 = \sec\left(\theta \right)^2$

$\frac{1}{3}\int\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{2}{3}\sec\left(\theta \right)^2}d\theta$
¿Por qué es tan(x)^2+1 = sec(x)^2 ?
8

Sacar la parte constante ($\frac{\sqrt{6}}{3}$) de la integral

$\frac{2}{3\sqrt{6}}\int\frac{\sec\left(\theta \right)^2}{\frac{2}{3}\sec\left(\theta \right)^2}d\theta$
9

Simplificamos la expresión dentro de la integral

$\frac{2}{3\sqrt{6}}\cdot \int\frac{3}{2}d\theta$
10

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

$\frac{\sqrt{6}}{6}\theta $
11

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

$\frac{\sqrt{6}}{6}\arctan\left(1.2247475x+1.2247475\right)$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{\sqrt{6}}{6}\arctan\left(1.2247475x+1.2247475\right)+C_0$

Respuesta final al problema

$\frac{\sqrt{6}}{6}\arctan\left(1.2247475x+1.2247475\right)+C_0$

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Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

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Tema Principal: Integrales de Funciones Racionales

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