Para derivar la función $x^x$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación
$y=x^x$
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Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad
$\ln\left(y\right)=\ln\left(x^x\right)$
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El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$
$\ln\left(y\right)=x\ln\left(x\right)$
4
Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $x^x$
$y^{\prime}=\left(\ln\left(x\right)+1\right)x^x$
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La derivada de la función es entonces
$\left(\ln\left(x\right)+1\right)x^x$
Respuesta Final
$\left(\ln\left(x\right)+1\right)x^x$
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