Respuesta final al problema
$\frac{x^2+2x-10}{\left(x+1\right)^2}$
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Solución explicada paso por paso
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Hallar la derivada Hallar la derivada con la regla del producto Hallar la derivada con la regla del cociente Hallar la derivada usando diferenciación logarítmica Derivar usando la definición Sugerir otro método
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Pasos intermedios
1
Simplificar la derivada aplicando las propiedades de los logaritmos
$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2+11+x}{x+1}\right)$
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2
Para derivar la función $\frac{x^2+11+x}{x+1}$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación
$y=\frac{x^2+11+x}{x+1}$
3
Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad
$\ln\left(y\right)=\ln\left(\frac{x^2+11+x}{x+1}\right)$
Pasos intermedios
4
Aplicar propiedades de los logaritmos a ambos lados de la igualdad
$\ln\left(y\right)=\ln\left(x^2+11+x\right)-\ln\left(x+1\right)$
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5
Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2+11+x\right)-\ln\left(x+1\right)\right)$
6
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2+11+x\right)-\ln\left(x+1\right)\right)$
Pasos intermedios
7
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2+11+x\right)-\ln\left(x+1\right)\right)$
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8
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2+11+x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(-\ln\left(x+1\right)\right)$
9
La derivada de una función multiplicada por una constante es igual a la constante por la derivada de la función
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x^2+11+x\right)\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x+1\right)\right)$
Pasos intermedios
10
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2+11+x}\frac{d}{dx}\left(x^2+11+x\right)-\left(\frac{1}{x+1}\right)\frac{d}{dx}\left(x+1\right)$
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11
Multiplicando la fracción por $-1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2+11+x}\frac{d}{dx}\left(x^2+11+x\right)+\frac{-1}{x+1}\frac{d}{dx}\left(x+1\right)$
12
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2+11+x}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(11\right)+\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)+\frac{-1}{x+1}\frac{d}{dx}\left(x+1\right)$
13
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2+11+x}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(11\right)+\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)+\frac{-1}{x+1}\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)$
14
La derivada de la función constante ($11$) es igual a cero
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2+11+x}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)+\frac{-1}{x+1}\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)$
15
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2+11+x}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)+\frac{-1}{x+1}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Pasos intermedios
16
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2+11+x}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+1\right)+\frac{-1}{x+1}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
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Pasos intermedios
17
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2+11+x}\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+1\right)+\frac{-1}{x+1}$
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Pasos intermedios
18
Utilizamos la regla de diferenciación de potencias, la cual dice que si $n$ es un número real y si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x^2+11+x}\left(2x+1\right)+\frac{-1}{x+1}$
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19
Multiplicar la fracción por el término
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{2x+1}{x^2+11+x}+\frac{-1}{x+1}$
20
Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $y$
$y^{\prime}=\left(\frac{2x+1}{x^2+11+x}+\frac{-1}{x+1}\right)y$
21
Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $\frac{x^2+11+x}{x+1}$
$y^{\prime}=\left(\frac{2x+1}{x^2+11+x}+\frac{-1}{x+1}\right)\frac{x^2+11+x}{x+1}$
22
La derivada de la función es entonces
$\left(\frac{2x+1}{x^2+11+x}+\frac{-1}{x+1}\right)\frac{x^2+11+x}{x+1}$
Pasos intermedios
23
Simplificar la derivada
$\frac{x^2+2x-10}{\left(x+1\right)^2}$
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Respuesta final al problema$\frac{x^2+2x-10}{\left(x+1\right)^2}$