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Derivar usando el método de diferenciación logarítmica $\frac{d}{dx}\left(\tan\left(x+1\right)\right)$

Solución Paso a paso

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Respuesta final al problema

$\sec\left(x+1\right)\sec\left(x+1\right)$
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Solución explicada paso por paso

Especifica el método de resolución

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Para derivar la función $\tan\left(x+1\right)$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación

$y=\tan\left(x+1\right)$
2

Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad

$\ln\left(y\right)=\ln\left(\tan\left(x+1\right)\right)$
3

Aplicar propiedades de los logaritmos a ambos lados de la igualdad

$\ln\left(y\right)=\ln\left(\tan\left(x+1\right)\right)$
4

Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$

$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(\tan\left(x+1\right)\right)\right)$
5

La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$

$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{1}{\tan\left(x+1\right)}\frac{d}{dx}\left(\tan\left(x+1\right)\right)$
6

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{\tan\left(x+1\right)}\frac{d}{dx}\left(\tan\left(x+1\right)\right)$
7

La derivada de la tangente es igual al cuadrado de la secante de la función por la derivada de la función, en otras palabras, si ${f(x) = tan(x)}$, entonces ${f'(x) = sec^2(x)\cdot D_x(x)}$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(x+1\right)\frac{1}{\tan\left(x+1\right)}\sec\left(x+1\right)^2$
8

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{y^{\prime}}{y}=\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)\frac{1}{\tan\left(x+1\right)}\sec\left(x+1\right)^2$
9

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(x\right)\frac{1}{\tan\left(x+1\right)}\sec\left(x+1\right)^2$
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Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{\tan\left(x+1\right)}\sec\left(x+1\right)^2$
11

Multiplicar la fracción por el término

$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{\sec\left(x+1\right)^2}{\tan\left(x+1\right)}$
12

Simplificar $\frac{\sec\left(x+1\right)^2}{\tan\left(x+1\right)}$ aplicando identidades trigonométricas

$\frac{y^{\prime}}{y}=\sec\left(x+1\right)\csc\left(x+1\right)$
13

Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $y$

$y^{\prime}=y\sec\left(x+1\right)\csc\left(x+1\right)$
14

Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $\tan\left(x+1\right)$

$y^{\prime}=\sec\left(x+1\right)\csc\left(x+1\right)\tan\left(x+1\right)$
15

La derivada de la función es entonces

$\sec\left(x+1\right)\csc\left(x+1\right)\tan\left(x+1\right)$
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Simplificar la derivada

$\sec\left(x+1\right)\sec\left(x+1\right)$

Respuesta final al problema

$\sec\left(x+1\right)\sec\left(x+1\right)$

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Tema Principal: Diferenciación Logarítmica

La derivada logarítmica de una función f(x) está definida por la fórmula f'(x)/f(x).

Fórmulas Usadas

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