Solución Paso a paso

Calcular la integral $\int\frac{x}{x^2-1}dx$

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Respuesta Final

$\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)+C_0$
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Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\frac{x}{x^2-1}dx$

Método de resolución

Aplicando la regla de potencia de una potencia

$\int\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}dx$
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Factorizar la diferencia de cuadrados $x^2-1$ como el producto de dos binomios conjugados

$\int\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}dx$
2

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$
3

Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $\left(x+1\right)\left(x-1\right)$

$x=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}\right)$
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Multiplicando polinomios

$x=\frac{A\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1}+\frac{B\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1}$
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Simplificando

$x=A\left(x-1\right)+B\left(x+1\right)$
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Expandir el polinomio

$x=Ax-A+Bx+B$
7

Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}-1=-2A&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1) \\ 1=2B&\:\:\:\:\:\:\:(x=1)\end{matrix}$
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Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix} -2A & + & 0B & =-1 \\ 0A & + & 2B & =1\end{matrix}$
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Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}-2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1\end{matrix}\right)$
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Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$
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La integral de $\frac{x}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$ en forma descompuesta equivale a

$\int\left(\frac{\frac{1}{2}}{x+1}+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}\right)dx$
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Expandir la integral $\int\left(\frac{\frac{1}{2}}{x+1}+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}\right)dx$ usando la regla de la integral de una suma de funciones

$\int\frac{\frac{1}{2}}{x+1}dx+\int\frac{\frac{1}{2}}{x-1}dx$
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Podemos resolver la integral $\int\frac{\frac{1}{2}}{x+1}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x+1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=x+1$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=x+1$

$du=\frac{d}{dx}\left(x+1\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dx}\left(x+1\right)$

La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado

$\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)$

La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero

$\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$1$
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Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=dx$
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Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{\frac{1}{2}}{u}du+\int\frac{\frac{1}{2}}{x-1}dx$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$\frac{1}{2}\ln\left(u\right)$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x+1$

$\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)$
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La integral $\int\frac{\frac{1}{2}}{u}du$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)$

$\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{-1+x}dx$

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{x+b}dx$$=n\ln\left(x+b\right)$, donde $b=-1$ y $n=1$

$\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)$
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La integral $\int\frac{\frac{1}{2}}{x-1}dx$ da como resultado: $\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)$

$\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)+C_0$

Respuesta Final

$\frac{1}{2}\ln\left(x+1\right)+\frac{1}{2}\ln\left(x-1\right)+C_0$
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