Solución Paso a paso

Calcular la integral $\int xe^{2x}dx$

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+
-
×
◻/◻
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÷
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e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\int\left(x\cdot e^{2x}\right)dx$

Método de resolución

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Podemos resolver la integral $\int xe^{2x}dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$

Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$

$1$
2

Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=x}\\ \displaystyle{du=dx}\end{matrix}$
3

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=e^{2x}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{2x}dx}\end{matrix}$
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Calcular la integral

$v=\int e^{2x}dx$
5

Podemos resolver la integral $\int e^{2x}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2x$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=2x$

$du=\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$2$
6

Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2dx$
7

Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{2}=dx$
8

Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{e^u}{2}du$

$\frac{1}{2}\int e^udu$

Dividir $1$ entre $2$

$\frac{1}{2}\int e^udu$
9

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int e^udu$
10

La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$

$\frac{1}{2}e^u$

$\frac{1}{2}e^{2x}$
11

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$

$\frac{1}{2}e^{2x}$

Multiplicar $1$ por $\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\int\frac{1}{2}e^{2x}dx$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\int e^{2x}dx$
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Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\int e^{2x}dx$
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Podemos resolver la integral $\int e^{2x}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2x$

Derivar ambos lados de la ecuación $u=2x$

$du=\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

Encontrar la derivada

$\frac{d}{dx}\left(2x\right)$

La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante

$2$
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Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2dx$
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Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$\frac{du}{2}=dx$
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Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\int\frac{e^u}{2}du$

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$-\frac{1}{4}\int e^udu$

La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$

$-\frac{1}{4}e^u$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$

$-\frac{1}{4}e^{2x}$
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La integral $-\frac{1}{2}\int\frac{e^u}{2}du$ da como resultado: $-\frac{1}{4}e^{2x}$

$-\frac{1}{4}e^{2x}$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Respuesta Final

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$
$\int\left(x\cdot e^{2x}\right)dx$

Fórmulas Relacionadas:

2. Ver fórmulas

Tiempo para resolverlo:

~ 0.09 s