Calcular la integral $\int xe^{2x}dx$

Solución Paso a paso

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Respuesta final al problema

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$
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Solución explicada paso por paso

¿Cómo debo resolver este problema?

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  • Integrar por fracciones parciales
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  • Integrar usando integrales básicas
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Podemos resolver la integral $\int xe^{2x}dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
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Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=x}\\ \displaystyle{du=dx}\end{matrix}$
3

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=e^{2x}dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{2x}dx}\end{matrix}$
4

Calcular la integral para hallar $v$

$v=\int e^{2x}dx$
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Podemos resolver la integral $\int e^{2x}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2x$
6

Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2dx$
7

Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$dx=\frac{du}{2}$
8

Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{e^u}{2}du$
9

Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral

$\frac{1}{2}\int e^udu$
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La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$

$\frac{1}{2}e^u$
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Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$

$\frac{1}{2}e^{2x}$
12

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\int e^{2x}dx$
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Podemos resolver la integral $\int e^{2x}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=2x$
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Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=2dx$
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Despejando $dx$ de la ecuación anterior

$dx=\frac{du}{2}$
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Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{2}\int\frac{e^u}{2}du$
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La integral $-\frac{1}{2}\int\frac{e^u}{2}du$ da como resultado: $-\frac{1}{4}e^{2x}$

$-\frac{1}{4}e^{2x}$
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Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

Respuesta final al problema

$\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C_0$

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