Respuesta Final
Solución explicada paso por paso
Problema a resolver:
Elige el método de resolución
Podemos resolver la integral $\int xe^{2x}dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es $1$
Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral
Podemos resolver la integral $\int e^{2x}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Derivar ambos lados de la ecuación $u=2x$
Encontrar la derivada
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
Dividir $1$ entre $2$
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$
Multiplicar $1$ por $\frac{1}{2}$
La integral de una función multiplicada por una constante ($\frac{1}{2}$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Podemos resolver la integral $\int e^{2x}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Derivar ambos lados de la ecuación $u=2x$
Encontrar la derivada
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Sacar el término constante $\frac{1}{2}$ de la integral
La integral de la función exponencial se resuelve aplicando la fórmula $\displaystyle \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln(a)}$, donde $a > 0$ y $a \neq 1$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $2x$
La integral $-\frac{1}{2}\int\frac{e^u}{2}du$ da como resultado: $-\frac{1}{4}e^{2x}$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$