Respuesta final al problema
$2x-3$
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Solución explicada paso por paso
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Hallar la derivada Hallar la derivada con la regla del producto Hallar la derivada con la regla del cociente Hallar la derivada usando diferenciación logarítmica Derivar usando la definición Sugerir otro método
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1
Para derivar la función $\left(x+1\right)\left(x-4\right)$ utilizamos el método de diferenciación logarítmica. Primero, igualamos la función a $y$, luego aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación
$y=\left(x+1\right)\left(x-4\right)$
2
Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad
$\ln\left(y\right)=\ln\left(\left(x+1\right)\left(x-4\right)\right)$
Pasos intermedios
3
Aplicar propiedades de los logaritmos a ambos lados de la igualdad
$\ln\left(y\right)=\ln\left(x+1\right)+\ln\left(x-4\right)$
Explicar más este paso
4
Derivar ambos lados de la igualdad con respecto a $x$
$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(y\right)\right)=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x+1\right)+\ln\left(x-4\right)\right)$
5
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{1}{y}\frac{d}{dx}\left(y\right)=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x+1\right)+\ln\left(x-4\right)\right)$
Pasos intermedios
6
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x+1\right)+\ln\left(x-4\right)\right)$
Explicar más este paso
7
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x+1\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x-4\right)\right)$
Pasos intermedios
8
La derivada del logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función. Si $f(x)=ln\:a$ (donde $a$ está en función de $x$), entonces $\displaystyle f'(x)=\frac{a'}{a}$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+1}\frac{d}{dx}\left(x+1\right)+\frac{1}{x-4}\frac{d}{dx}\left(x-4\right)$
Explicar más este paso
9
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+1}\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)+\frac{1}{x-4}\frac{d}{dx}\left(x-4\right)$
10
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+1}\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)\right)+\frac{1}{x-4}\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(-4\right)\right)$
11
La derivada de la función constante ($1$) es igual a cero
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+1}\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{1}{x-4}\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(-4\right)\right)$
12
La derivada de la función constante ($-4$) es igual a cero
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+1}\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{1}{x-4}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Pasos intermedios
13
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-4}\frac{d}{dx}\left(x\right)$
Explicar más este paso
Pasos intermedios
14
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
$\frac{y^{\prime}}{y}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-4}$
Explicar más este paso
15
Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $y$
$y^{\prime}=\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-4}\right)y$
16
Reemplazar el valor de $y$ por el valor de la función original: $\left(x+1\right)\left(x-4\right)$
$y^{\prime}=\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-4}\right)\left(x+1\right)\left(x-4\right)$
17
La derivada de la función es entonces
$\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-4}\right)\left(x+1\right)\left(x-4\right)$
Pasos intermedios
18
Simplificar la derivada
$2x-3$
Explicar más este paso
Respuesta final al problema$2x-3$