Derivar por definición la función $\ln\left(x\right)$

Solución Paso a paso

Go!
Modo simbólico
Modo texto
Go!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta final al problema

$\frac{1}{x}$
¿Tienes otra respuesta? Verifícala aquí!

Solución explicada paso por paso

¿Cómo debo resolver este problema?

  • Elige una opción
  • Integrar por fracciones parciales
  • Producto de Binomios con Término Común
  • Método FOIL
  • Integrar por cambio de variable
  • Integrar por partes
  • Integrar por método tabular
  • Integrar por sustitución trigonométrica
  • Integración por Sustitución de Weierstrass
  • Demostrar desde LHS (lado izquierdo)
  • Cargar más...
¿No encuentras un método? Dinos para que podamos agregarlo.
1

Calcular la derivada $\ln\left(x\right)$ usando la definición. Aplicamos la definición de derivada: $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. La función $f(x)$ es la función que queremos derivar, la cual es $\ln\left(x\right)$. Reemplazando $f(x+h)$ y $f(x)$ en el límite, obtenemos

$\lim_{h\to0}\left(\frac{\ln\left(x+h\right)-\ln\left(x\right)}{h}\right)$
2

Aplicando la propiedad de la resta de dos logaritmos de igual base $b$: $\log_b(x)-\log_b(y)=\log_b\left(\frac{x}{y}\right)$

$\lim_{h\to0}\left(\frac{\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}\right)$
3

Simplificando la fracción

$\lim_{h\to0}\left(\frac{1}{h}\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)\right)$
4

Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia de manera inversa: $n\log_b(a)=\log_b(a^n)$, donde $n$ toma el valor de $\frac{1}{h}$

$\lim_{h\to0}\left(\ln\left(\left(\frac{x+h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right)\right)$
5

Expandir la fracción $\left(\frac{x+h}{x}\right)$ en $2$ fracciones más simples con $x$ como denominador en común

$\lim_{h\to0}\left(\ln\left(\left(\frac{x}{x}+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right)\right)$

Simplificar la fracción $\frac{x}{x}$ por $x$

$\lim_{h\to0}\left(\ln\left(\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right)\right)$
6

Simplificar las fracciones resultantes

$\lim_{h\to0}\left(\ln\left(\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right)\right)$
7

Aplicamos la sustitución $\frac{h}{x}=\frac{1}{n}$, luego $h=\frac{x}{n}$. Como $h$ tiende a $0$, es lo mismo a que si $n$ tiende a $\infty$. Sustituyendo obtenemos

$\lim_{n\to\infty }\left(\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{x}}\right)\right)$
8

Reescribir el exponente $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{x}}$ aplicando propiedades de los exponentes

$\lim_{n\to\infty }\left(\ln\left(\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^{\frac{1}{x}}\right)\right)$
9

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$

$\lim_{n\to\infty }\left(\frac{1}{x}\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)\right)$
10

Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$

$\frac{1}{x}\lim_{n\to\infty }\left(\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)\right)$
11

El límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite

$\frac{1}{x}\ln\left(\lim_{n\to\infty }\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)\right)$
12

Utilizando la representación de $e$ como el límite de una sucesión

$\ln\left(e^1\right)\frac{1}{x}$
13

Calculando el logaritmo natural de $e^1$

$\frac{1}{x}$

Respuesta final al problema

$\frac{1}{x}$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

¡Ayúdanos a mejorar con tu opinión!

Gráfico de la Función

Gráfico de: $\frac{1}{x}$

SnapXam A2
Answer Assistant

beta
¿Tu respuesta es distinta? ¡Compruébala!

Go!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Cómo mejorar tu respuesta:

Tema Principal: Definición de Derivada

Resolución de derivadas aplicando la definición de derivada, la cual es el límite de un cociente de diferencias.

Fórmulas Usadas

Ver fórmulas (1)

Tu Tutor Personal de Mates. Potenciado por IA

Disponible 24/7, 365.

Soluciones paso a paso completas. Sin anuncios.

Incluye múltiples métodos de resolución.

Descarga soluciones completas y guárdalas para siempre.

Acceso premium en nuestras apps de iOS y Android.

Únete a 500k+ estudiantes en la resolución de problemas.

Escoge tu plan. Cancela cuando quieras.
Paga $39.97 USD de forma segura con tu método de pago.
Por favor espera mientras se procesa tu pago.

Crear una Cuenta