Calcular la derivada $\ln\left(x\right)$ usando la definición. Aplicamos la definición de derivada: $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. La función $f(x)$ es la función que queremos derivar, la cual es $\ln\left(x\right)$. Reemplazando $f(x+h)$ y $f(x)$ en el límite, obtenemos

Aplicando la propiedad de la resta de dos logaritmos de igual base $b$: $\log_b(x)-\log_b(y)=\log_b\left(\frac{x}{y}\right)$

Simplificando la fracción

Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia de manera inversa: $n\log_b(a)=\log_b(a^n)$, donde $n$ toma el valor de $\frac{1}{h}$

Expandir la fracción $\left(\frac{x+h}{x}\right)$ en $2$ fracciones más simples con $x$ como denominador en común

Aplicamos la sustitución $\frac{h}{x}=\frac{1}{n}$, luego $h=\frac{x}{n}$. Como $h$ tiende a $0$, es lo mismo a que si $n$ tiende a $\infty$. Sustituyendo obtenemos

Reescribir el exponente $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{x}}$ aplicando propiedades de los exponentes

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$

Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$

El límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite

Utilizando la representación de $e$ como el límite de una sucesión

Calculando el logaritmo natural de $e^1$