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Derivar por definición la función $\ln\left(x\right)$

Solución Paso a paso

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Respuesta Final

$\frac{1}{x}$
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Solución explicada paso por paso

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Calcular la derivada $\ln\left(x\right)$ usando la definición. Aplicamos la definición de derivada: $\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. La función $f(x)$ es la función que queremos derivar, la cual es $\ln\left(x\right)$. Reemplazando $f(x+h)$ y $f(x)$ en el límite, obtenemos

$\lim_{h\to0}\left(\frac{\ln\left(x+h\right)-\ln\left(x\right)}{h}\right)$
2

Aplicando la propiedad de la resta de dos logaritmos de igual base $b$: $\log_b(x)-\log_b(y)=\log_b\left(\frac{x}{y}\right)$

$\lim_{h\to0}\left(\frac{\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}\right)$
3

Simplificando la fracción

$\lim_{h\to0}\left(\frac{1}{h}\ln\left(\frac{x+h}{x}\right)\right)$
4

Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia de manera inversa: $n\log_b(a)=\log_b(a^n)$, donde $n$ toma el valor de $\frac{1}{h}$

$\lim_{h\to0}\left(\ln\left(\left(\frac{x+h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right)\right)$
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Expandir la fracción $\left(\frac{x+h}{x}\right)$ en $2$ fracciones más simples con $x$ como denominador en común

$\lim_{h\to0}\left(\ln\left(\left(\frac{x}{x}+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right)\right)$

Simplificar la fracción $\frac{x}{x}$ por $x$

$\lim_{h\to0}\left(\ln\left(\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right)\right)$
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Simplificar las fracciones resultantes

$\lim_{h\to0}\left(\ln\left(\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right)\right)$
7

Aplicamos la sustitución $\frac{h}{x}=\frac{1}{n}$, luego $h=\frac{x}{n}$. Como $h$ tiende a $0$, es lo mismo a que si $n$ tiende a $\infty$. Sustituyendo obtenemos

$\lim_{n\to\infty }\left(\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{x}}\right)\right)$
8

Reescribir el exponente $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{x}}$ aplicando propiedades de los exponentes

$\lim_{n\to\infty }\left(\ln\left(\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^{\frac{1}{x}}\right)\right)$
9

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a(x)$

$\lim_{n\to\infty }\left(\frac{1}{x}\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)\right)$
10

Si tenemos una constante dentro del límite que estamos calculando, podemos sacarla del límite: $\displaystyle \lim_{t\to 0}{\left(at\right)}=a\cdot\lim_{t\to 0}{\left(t\right)}$

$\frac{1}{x}\lim_{n\to\infty }\left(\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)\right)$
11

El límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite

$\frac{1}{x}\ln\left(\lim_{n\to\infty }\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)\right)$
12

Utilizando la representación de $e$ como el límite de una sucesión

$\ln\left(e\right)\frac{1}{x}$
13

Calculando el logaritmo natural de $e$

$\frac{1}{x}$

Respuesta Final

$\frac{1}{x}$

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Gráfico de la Función

SnapXam A2
Answer Assistant

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Cómo mejorar tu respuesta:

Tema Principal: Definición de Derivada

Resolución de derivadas aplicando la definición de derivada, la cual es el límite de un cociente de diferencias.

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