Podemos resolver la integral $\int\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
Podemos resolver la integral $\int\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x}}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2\sqrt{1+x}$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
$u=2\sqrt{1+x}$
Pasos intermedios
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Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
$du=\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}dx$
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Despejando $dx$ de la ecuación anterior
$\frac{du}{\left(1+x\right)^{-\frac{1}{2}}}=dx$
Pasos intermedios
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Reescribir $x$ en términos de $u$
$x=\frac{u^{2}}{4}-1$
Pasos intermedios
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Sustituimos $u$, $dx$ y $x$ en la integral y luego simplificamos
La integral $-\int\frac{\sqrt{u^{2}-4}}{4}du$ da como resultado: $-\frac{1}{4}\sqrt{1+x}\sqrt{4\left(1+x\right)-4}+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\frac{\sqrt{\left(2\sqrt{1+x}\right)^{2}-4}}{2}\right)$
Explora distintas formas de resolver este problema
Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más
Gráfico de: $x\ln\left(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{1+x}+\frac{\sqrt{\left(2\sqrt{1+x}\right)^{2}-4}}{2}\right)-\frac{1}{4}\sqrt{1+x}\sqrt{4\left(1+x\right)-4}+C_0$
La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.