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Calcular la integral $\int x^2\sin\left(x\right)dx$

Solución Paso a paso

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Respuesta Final

$-x^2\cos\left(x\right)+2x\sin\left(x\right)+2\cos\left(x\right)+C_0$
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Solución explicada paso por paso

Especifica el método de resolución

1

Podemos resolver la integral $\int x^2\sin\left(x\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
2

Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=x^2}\\ \displaystyle{du=2xdx}\end{matrix}$
3

Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\sin\left(x\right)dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int \sin\left(x\right)dx}\end{matrix}$
4

Calcular la integral

$v=\int\sin\left(x\right)dx$
5

La integral del seno de función es igual a menos el coseno de la misma función, en otras palabras: $\int\sin(x)dx=-\cos(x)$

$-\cos\left(x\right)$
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Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$-x^2\cos\left(x\right)+2\int x\cos\left(x\right)dx$
7

Podemos resolver la integral $\int x\cos\left(x\right)dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula

$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
8

Primero, identificamos $u$ y calculamos $du$

$\begin{matrix}\displaystyle{u=x}\\ \displaystyle{du=dx}\end{matrix}$
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Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$

$\begin{matrix}\displaystyle{dv=\cos\left(x\right)dx}\\ \displaystyle{\int dv=\int \cos\left(x\right)dx}\end{matrix}$
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Calcular la integral

$v=\int\cos\left(x\right)dx$
11

La integral del coseno de una función es igual al seno de la misma función, en otras palabras: $\int\cos(x)dx=\sin(x)$

$\sin\left(x\right)$
12

Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general

$-x^2\cos\left(x\right)+2\left(x\sin\left(x\right)-\int\sin\left(x\right)dx\right)$
13

Multiplicar el término $2$ por cada término del polinomio $\left(x\sin\left(x\right)-\int\sin\left(x\right)dx\right)$

$-x^2\cos\left(x\right)+2x\sin\left(x\right)-2\int\sin\left(x\right)dx$
14

La integral $-2\int\sin\left(x\right)dx$ da como resultado: $2\cos\left(x\right)$

$2\cos\left(x\right)$
15

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$-x^2\cos\left(x\right)+2x\sin\left(x\right)+2\cos\left(x\right)$
16

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$-x^2\cos\left(x\right)+2x\sin\left(x\right)+2\cos\left(x\right)+C_0$

Respuesta Final

$-x^2\cos\left(x\right)+2x\sin\left(x\right)+2\cos\left(x\right)+C_0$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

Resolver integral de x^2sinxdx usando integrales básicasResolver integral de x^2sinxdx por cambio de variableResolver integral de x^2sinxdx por método tabular

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Gráfico de: $-x^2\cos\left(x\right)+2x\sin\left(x\right)+2\cos\left(x\right)+C_0$

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Calcular la integral

$\int x\cdot\cos\left(x\right)dx$

Tema Principal: Cálculo Integral

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

Fórmulas Usadas

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