Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
Especifica el método de resolución
Calcular la integral
Expandir la integral $\int\left(\frac{x}{4x^2+2x}+\frac{-3}{2x+1}\right)dx$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
Podemos resolver la integral $\int\frac{-3}{2x+1}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $2x+1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
La integral $\int\frac{x}{4x^2+2x}dx$ da como resultado: $\frac{1}{4}\ln\left(2x+1\right)$
La integral $\frac{1}{2}\int\frac{-3}{u}du$ da como resultado: $-\frac{3}{2}\ln\left(2x+1\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Reduciendo términos semejantes $\frac{1}{4}\ln\left(2x+1\right)$ y $-\frac{3}{2}\ln\left(2x+1\right)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$