Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
Especifica el método de resolución
Calcular la integral
Reescribir la expresión $\frac{x^2+x-2}{x^2+5x+6}$ que está dentro de la integral en forma factorizada
Factorizar el trinomio $x^2+x-2$ encontrando dos números cuyo producto sea $-2$ y cuya suma sea $1$
Por lo tanto
Simplificando
Expandir la fracción $\frac{x-1}{x+3}$ en $2$ fracciones más simples con $x+3$ como denominador en común
Expandir la integral $\int\left(\frac{x}{x+3}+\frac{-1}{x+3}\right)dx$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado
Podemos resolver la integral $\int\frac{x}{x+3}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x+3$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Reescribir $x$ en términos de $u$
Sustituimos $u$, $dx$ y $x$ en la integral y luego simplificamos
La integral $\int\frac{u-3}{u}du$ da como resultado: $x+3-3\ln\left(x+3\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Podemos resolver la integral $\int\frac{-1}{x+3}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x+3$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
La integral $\int\frac{-1}{u}du$ da como resultado: $-\ln\left(x+3\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Reduciendo términos semejantes $-3\ln\left(x+3\right)$ y $-\ln\left(x+3\right)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Podemos combinar y renombrar $3$ y $C_0$ como otra constante de integración