Respuesta Final
$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^nx^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)\left(2n+1\right)!}+C_0$
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1
Reescribir la función $\sin\left(x\right)$ como su representación en expansión de Series de Maclaurin
$\int\frac{\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n}{\left(2n+1\right)!}x^{\left(2n+1\right)}}{x}dx$
2
Traer el denominador $x$ hacia dentro de la serie de potencias
$\int\sum_{n=0}^{\infty } \frac{\frac{{\left(-1\right)}^n}{\left(2n+1\right)!}x^{\left(2n+1\right)}}{x}dx$
Pasos intermedios
3
Simplificamos la expresión dentro de la integral
$\int\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^nx^{2n}}{\left(2n+1\right)!}dx$
Explicar más este paso
4
Podemos reescribir la serie de potencias de la siguiente forma
$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{\left(2n+1\right)!}\int{\left(-1\right)}^nx^{2n}dx$
5
La integral de una función multiplicada por una constante (${\left(-1\right)}^n$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{\left(2n+1\right)!}{\left(-1\right)}^n\int x^{2n}dx$
Pasos intermedios
6
Simplificamos la expresión dentro de la integral
$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n}{\left(2n+1\right)!}\int x^{2n}dx$
Explicar más este paso
7
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $2n$
$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^n}{\left(2n+1\right)!}\frac{x^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}$
8
Multiplicando fracciones $\frac{{\left(-1\right)}^n}{\left(2n+1\right)!} \times \frac{x^{\left(2n+1\right)}}{2n+1}$
$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^nx^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)\left(2n+1\right)!}$
9
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^nx^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)\left(2n+1\right)!}+C_0$
Respuesta Final$\sum_{n=0}^{\infty } \frac{{\left(-1\right)}^nx^{\left(2n+1\right)}}{\left(2n+1\right)\left(2n+1\right)!}+C_0$