Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=y\left(1-y\right)$

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{y\left(1-y\right)}$ en $2$ fracciones más simples

Expandir la integral $\int\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}\right)dy$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

Aplicamos la regla: $\int\frac{n}{ax+b}dx$$=\frac{n}{a}\ln\left(ax+b\right)+C$, donde $a=-1$, $b=1$, $x=y$ y $n=1$

Dividir $1$ entre $-1$

La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

Aplicando la propiedad de la resta de dos logaritmos de igual base $b$: $\log_b(x)-\log_b(y)=\log_b\left(\frac{x}{y}\right)$

Eliminando el logaritmo de la incógnita

Simplificando el logaritmo

Simplificar $e^{\left(x+C_0\right)}$ aplicando propiedades de los exponentes

Tomar el recíproco de ambos lados de la ecuación

Podemos expresar $\frac{1}{C_1e^x}$ como otra constante

Simplificar la fracción $\frac{-y+1}{y}$

Agrupar los términos de la ecuación

Tomar el recíproco de ambos lados de la ecuación

Combinar $\frac{C_1}{e^x}+1$ en una sola fracción

Dividir las fracciones $\frac{1}{\frac{C_1+e^x}{e^x}}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$