Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
¿Cómo debo resolver este problema?
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- Integrar por fracciones parciales
- Integrar por cambio de variable
- Integrar por partes
- Integrar por método tabular
- Integrar por sustitución trigonométrica
- Integración por Sustitución de Weierstrass
- Integrar usando identidades trigonométricas
- Integrar usando integrales básicas
- Producto de Binomios con Término Común
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Podemos resolver la integral $\int\mathrm{coth}\left(3x\right)dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $3x$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Derivar ambos lados de la ecuación $u=3x$
Encontrar la derivada
La derivada de una función lineal multiplicada por una constante, es igual a la constante
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Reorganizar la ecuación
Dividir ambos lados de la ecuación por $3$
Despejando $dx$ de la ecuación anterior
Sustituimos $u$ y $dx$ en la integral y luego simplificamos
Sacar el término constante $\frac{1}{3}$ de la integral
Podemos resolver la integral $\int\mathrm{coth}\left(u\right)du$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
Aplicando la derivada de la cotangente hiperbólica
Utilizando la regla de diferenciación de potencias, la derivada de la función lineal es igual a $1$
Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral para hallar $v$
La integral de una constante es igual a la constante multiplicada por la variable de integración
La integral de una función multiplicada por una constante ($-1$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Multiplicar el término $\frac{1}{3}$ por cada término del polinomio $\left(u\mathrm{coth}\left(u\right)+\int u\mathrm{csch}\left(u\right)^2du\right)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $3x$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $3x$
Multiplicar la fracción y el término en $3\cdot \frac{1}{3}x\mathrm{coth}\left(u\right)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $3x$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $3x$
Podemos resolver la integral $\int u\mathrm{csch}\left(u\right)^2du$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
Primero, identificamos $u$ y calculamos su derivada, $du$
Luego, identificamos $dv$ y calculamos $v$
Calcular la integral para hallar $v$
Aplicamos la regla: $\int\mathrm{csch}\left(\theta \right)^2dx$$=-\mathrm{coth}\left(\theta \right)+C$, donde $x=u$
Con los valores obtenidos, sustituimos $u$, $du$ y $v$ en la fórmula general
Multiplicar el término $\frac{1}{3}$ por cada término del polinomio $\left(-u\mathrm{coth}\left(u\right)+\int\mathrm{coth}\left(u\right)du\right)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $3x$
Multiplicar la fracción y el término en $3-\frac{1}{3}x\mathrm{coth}\left(3x\right)$
Aplicamos la identidad trigonométrica: $\mathrm{coth}\left(\theta \right)$$=\frac{\mathrm{cosh}\left(\theta \right)}{\mathrm{sinh}\left(\theta \right)}$, donde $x=u$
Podemos resolver la integral $\int\frac{\mathrm{cosh}\left(u\right)}{\mathrm{sinh}\left(u\right)}du$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $v$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $\mathrm{sinh}\left(u\right)$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $v$ y asignémosle el candidato
Ahora, para poder reescribir $du$ en términos de $dv$, necesitamos encontrar la derivada de $v$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dv$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Despejando $du$ de la ecuación anterior
Sustituimos $v$ y $du$ en la integral y luego simplificamos
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Reemplazar $v$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\mathrm{sinh}\left(u\right)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $3x$
La integral $\frac{1}{3}\int u\mathrm{csch}\left(u\right)^2du$ da como resultado: $-x\mathrm{coth}\left(3x\right)+\frac{1}{3}\ln\left(\mathrm{sinh}\left(3x\right)\right)$
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
Reduciendo términos semejantes $x\mathrm{coth}\left(3x\right)$ y $-x\mathrm{coth}\left(3x\right)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
