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Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{3y^2}$

Solución Paso a paso

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Respuesta final al problema

$y=\sqrt[3]{C_0+x^2}$
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Solución explicada paso por paso

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Reescribir la ecuación diferencial en la forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

$3y^2dy-2xdx=0$
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La ecuación diferencial $3y^2dy-2xdx=0$ es exacta, ya que está escrita en su forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas satisfacen la prueba de exactitud: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. En otras palabras, sus segundas derivadas parciales son iguales. La solución general de la ecuación diferencial es de la forma: $f(x,y)=C$

$3y^2dy-2xdx=0$
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Mediante la prueba de exactitud, comprobamos que la ecuacioó diferencial es exacta

$0=0$
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Integramos $M(x,y)$ con respecto a $x$ para obtener

$-x^2+g(y)$
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Calcular la derivada parcial de $-x^2$ con respecto a $y$ para obtener

$0+g'(y)$
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Igualamos $3y^2$ y $0+g'(y)$ y luego despejamos $g'(y)$

$g'(y)=3y^2$
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Encontrar $g(y)$ integrando a ambos lados

$g(y)=y^{3}$
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Hemos encontrado nuestra $f(x,y)$ y equivale a

$f(x,y)=-x^2+y^{3}$
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Entonces, la solución a la ecuación diferencial es

$-x^2+y^{3}=C_0$
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Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=\sqrt[3]{C_0+x^2}$

Respuesta final al problema

$y=\sqrt[3]{C_0+x^2}$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

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Gráfico de la Función

Gráfico de: $\frac{dy}{dx}+\frac{-2x}{3y^2}$

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