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Ejercicio

$\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x}y=\frac{1}{x^2}$

Solución explicada paso por paso

1

Multiplicando la fracción por el término $y$

$\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=\frac{1}{x^2}$
2

Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=\frac{3}{x}$ y $Q(x)=\frac{1}{x^2}$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$
3

Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{3}{x}dx=3\ln\left(x\right)$
4

Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es

$\mu(x)=x^3$
5

Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar

$\frac{dy}{dx}x^3+3yx^{2}=x$
6

Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)=x$
7

Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)dx=\int xdx$
8

Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial

$x^3y=\int xdx$
9

Resolver la integral $\int xdx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$x^3y=\frac{1}{2}x^2+C_0$
10

Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$

Respuesta final al problema

$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$

¿Cómo debo resolver este problema?

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Tema Principal: Integrales de Funciones Polinomiales

Integrales de funciones polinomiales.

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∫◻
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