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Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x}y=\frac{1}{x^2}$

Solución Paso a paso

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Respuesta Final

$y=\frac{\frac{1}{2}x^2+C_0}{x^3}$
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Solución explicada paso por paso

Especifica el método de resolución

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Multiplicando la fracción por el término $y$

$\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=\frac{1}{x^2}$
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Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=\frac{3}{x}$ y $Q(x)=\frac{1}{x^2}$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$

Calcular la integral

$\int\frac{3}{x}dx$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$3\ln\left(x\right)$
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Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{3}{x}dx=3\ln\left(x\right)$

Simplificar $e^{3\ln\left(x\right)}$ aplicando las propiedades de los exponentes y logaritmos

$x^3$
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Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es

$\mu(x)=x^3$

Multiplicando la fracción por el término $x^3$

$\frac{dy}{dx}x^3+\frac{3yx^3}{x}=\frac{1}{x^2}x^3$

Multiplicando la fracción por el término $x^3$

$\frac{dy}{dx}x^3+\frac{3yx^3}{x}=\frac{1x^3}{x^2}$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{dy}{dx}x^3+\frac{3yx^3}{x}=\frac{x^3}{x^2}$

Simplificar la fracción $\frac{x^3}{x^2}$ por $x$

$\frac{dy}{dx}x^3+\frac{3yx^3}{x}=x$

Simplificar la fracción $\frac{3yx^3}{x}$ por $x$

$\frac{dy}{dx}x^3+3yx^{2}=x$
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Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar

$\frac{dy}{dx}x^3+3yx^{2}=x$
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Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)=x$
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Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)dx=\int xdx$
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Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial

$x^3y=\int xdx$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$

$\frac{1}{2}x^2$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}x^2+C_0$
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Resolver la integral $\int xdx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$x^3y=\frac{1}{2}x^2+C_0$

Dividir ambos lados de la ecuación por $x^3$

$\frac{x^3y}{x^3}=\frac{\frac{1}{2}x^2+C_0}{x^3}$

Simplificando las divisiones

$y=\frac{\frac{1}{2}x^2+C_0}{x^3}$
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Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=\frac{\frac{1}{2}x^2+C_0}{x^3}$

Respuesta Final

$y=\frac{\frac{1}{2}x^2+C_0}{x^3}$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

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Tema Principal: Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas.

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