Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
¿Cómo debo resolver este problema?
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- Ecuación Diferencial Exacta
- Ecuación Diferencial Lineal
- Ecuación Diferencial Separable
- Ecuación Diferencial Homogénea
- Integrar por fracciones parciales
- Producto de Binomios con Término Común
- Método FOIL
- Integrar por cambio de variable
- Integrar por partes
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Multiplicando la fracción por el término $y$
Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=\frac{3}{x}$ y $Q(x)=\frac{1}{x^2}$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$
Calcular la integral
La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$
Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$
Simplificar $e^{3\ln\left|x\right|}$ aplicando las propiedades de los exponentes y logaritmos
Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es
Multiplicando la fracción por el término $x^3$
Multiplicando la fracción por el término $x^3$
Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión
Simplificar la fracción $\frac{x^3}{x^2}$ por $x$
Simplificar la fracción $\frac{3yx^3}{x}$ por $x$
Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar
Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$
Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$
Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
Resolver la integral $\int xdx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial
Multiplicando la fracción por el término $x^2$
Combinar todos los términos en una única fracción con $2$ como común denominador
Podemos expresar $2\cdot C_0$ como otra constante
Dividir ambos lados de la ecuación por $x^3$
Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$
