Solución Paso a paso

Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}+y\frac{3}{x}=\frac{1}{x^2}$

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-
×
◻/◻
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÷
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π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
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=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$y=\frac{\frac{1}{2}x^2+C_0}{x^3}$

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x}y=\frac{1}{x^2}$
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Multiplicando la fracción por el término $y$

$\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=\frac{1}{x^2}$
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Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=\frac{3}{x}$ y $Q(x)=\frac{1}{x^2}$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$
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Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{3}{x}dx=3\ln\left(x\right)$
4

Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es

$\mu(x)=x^3$
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Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar

$x^3\frac{dy}{dx}+3yx^{2}=x$
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Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)=x$
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Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)dx=\int xdx$
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Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial

$x^3y=\int xdx$
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Resolver la integral $\int xdx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$x^3y=\frac{1}{2}x^2$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$x^3y=\frac{1}{2}x^2+C_0$
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Dividir ambos lados de la ecuación por $x^3$

$y=\frac{\frac{1}{2}x^2+C_0}{x^3}$

Respuesta Final

$y=\frac{\frac{1}{2}x^2+C_0}{x^3}$
$\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x}y=\frac{1}{x^2}$

Tema principal:

Ecuaciones diferenciales

Fórmulas relacionadas:

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Tiempo para resolverlo:

~ 0.1 s (SnapXam)