Solución Paso a paso

Resolver la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx}+y\frac{3}{x}=\frac{1}{x^2}$

Go!
Go!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Respuesta Final

$y=\frac{\frac{1}{2}x^2+C_0}{x^3}$
¿Tienes una respuesta distinta? Prueba nuestro Asistente de Respuestas

Solución explicada paso por paso

Problema a resolver:

$\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x}y=\frac{1}{x^2}$
1

Multiplicando la fracción por el término $y$

$\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=\frac{1}{x^2}$
2

Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=\frac{3}{x}$ y $Q(x)=\frac{1}{x^2}$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$

Calcular la integral

$\int\frac{3}{x}dx$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$3\ln\left(x\right)$
3

Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{3}{x}dx=3\ln\left(x\right)$

Simplificar $e^{3\ln\left(x\right)}$ aplicando las propiedades de los exponentes y logaritmos

$x^3$
4

Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es

$\mu(x)=x^3$

Multiplicando la fracción por el término $x^3$

$x^3\frac{dy}{dx}+\frac{3yx^3}{x}=\frac{x^3}{x^2}$

Simplificar la fracción $\frac{x^3}{x^2}$ por $x$

$x^3\frac{dy}{dx}+\frac{3yx^3}{x}=x$

Simplificar la fracción $\frac{3yx^3}{x}$ por $x$

$x^3\frac{dy}{dx}+3yx^{2}=x$
5

Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar

$x^3\frac{dy}{dx}+3yx^{2}=x$
6

Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)=x$
7

Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)dx=\int xdx$
8

Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial

$x^3y=\int xdx$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$

$\frac{1}{2}x^2$
9

Resolver la integral $\int xdx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$x^3y=\frac{1}{2}x^2$
10

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$x^3y=\frac{1}{2}x^2+C_0$

Dividir ambos lados de la ecuación por $x^3$

$y=\frac{\frac{1}{2}x^2+C_0}{x^3}$
11

Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial

$y=\frac{\frac{1}{2}x^2+C_0}{x^3}$

Respuesta Final

$y=\frac{\frac{1}{2}x^2+C_0}{x^3}$
SnapXam A2
Answer Assistant

beta
¿Obtuviste una respuesta diferente? ¡Compruébala!

Go!
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
a
b
c
d
f
g
m
n
u
v
w
x
y
z
.
(◻)
+
-
×
◻/◻
/
÷
2

e
π
ln
log
log
lim
d/dx
Dx
|◻|
θ
=
>
<
>=
<=
sin
cos
tan
cot
sec
csc

asin
acos
atan
acot
asec
acsc

sinh
cosh
tanh
coth
sech
csch

asinh
acosh
atanh
acoth
asech
acsch

Tips para mejorar tu respuesta:

$\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x}y=\frac{1}{x^2}$

Tema principal:

Ecuaciones Diferenciales

Fórmulas Relacionadas:

1. Ver fórmulas

Tiempo para resolverlo:

~ 0.14 s