Resolver la ecuación diferencial x^3dy/dx+3x^2y=x

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$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$

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Dividir todos los términos de la ecuación diferencial por $x^3$

$\frac{x^3}{x^3}\frac{dy}{dx}+\frac{3x^2y}{x^3}=\frac{x}{x^3}$

Simplificar la fracción por $x$

$\frac{x^3}{x^3}\frac{dy}{dx}+\frac{3x^2y}{x^3}=\frac{1}{x^{2}}$

Simplificar la fracción $\frac{x^3}{x^3}$ por $x$

$x^{0}\frac{dy}{dx}+\frac{3x^2y}{x^3}=\frac{1}{x^{2}}$

Cualquier expresión matemática elevada a la potencia $0$ es igual a $1$

$\frac{dy}{dx}+\frac{3x^2y}{x^3}=\frac{1}{x^{2}}$

Simplificar la fracción por $x$

$\frac{3y}{x^{3-2}}$

Restar los valores $3$ y $-2$

$\frac{3y}{x^{1}}$

Cualquier expresión elevada a la potencia uno es igual a esa misma expresión

$\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=\frac{1}{x^{2}}$

 

Simplificando

$\frac{dy}{dx}+\frac{3y}{x}=\frac{1}{x^{2}}$

 

Podemos darnos cuenta de que la ecuación diferencial tiene la forma: $\frac{dy}{dx} + P(x)\cdot y(x) = Q(x)$, así que podemos clasificarla en una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde $P(x)=\frac{3}{x}$ y $Q(x)=\frac{1}{x^{2}}$. Para poder resolver esta ecuación diferencial, el primer paso es encontrar el factor integrante $\mu(x)$

$\displaystyle\mu\left(x\right)=e^{\int P(x)dx}$

Calcular la integral

$\int\frac{3}{x}dx$

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

$3\ln\left|x\right|$

 

Para encontrar $\mu(x)$, primero necesitamos calcular $\int P(x)dx$

$\int P(x)dx=\int\frac{3}{x}dx=3\ln\left(x\right)$

Simplificar $e^{3\ln\left|x\right|}$ aplicando las propiedades de los exponentes y logaritmos

$x^3$

 

Asi que el factor integrante $\mu(x)$ es

$\mu(x)=x^3$

Multiplicando la fracción por el término $x^3$

$\frac{dy}{dx}x^3+\frac{3yx^3}{x}=\frac{1}{x^{2}}x^3$

Multiplicando la fracción por el término $x^3$

$\frac{dy}{dx}x^3+\frac{3yx^3}{x}=\frac{1x^3}{x^{2}}$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

$\frac{dy}{dx}x^3+\frac{3yx^3}{x}=\frac{x^3}{x^{2}}$

Simplificar la fracción $\frac{x^3}{x^{2}}$ por $x$

$\frac{dy}{dx}x^3+\frac{3yx^3}{x}=x$

Simplificar la fracción $\frac{3yx^3}{x}$ por $x$

$\frac{dy}{dx}x^3+3yx^{2}=x$

 

Ahora, multiplicamos todos los términos de la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu(x)$ y verificamos si podemos simplificar

$\frac{dy}{dx}x^3+3yx^{2}=x$

 

Podemos reconocer que el lado izquierdo de la ecuación diferencial consiste en la derivada del producto de $\mu(x)\cdot y(x)$

$\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)=x$

 

Integrar ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $dx$

$\int\frac{d}{dx}\left(x^3y\right)dx=\int xdx$

 

Simplificar el lado izquierdo de la ecuación diferencial

$x^3y=\int xdx$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$

$\frac{1}{2}x^2$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}x^2+C_0$

 

Resolver la integral $\int xdx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$x^3y=\frac{1}{2}x^2+C_0$

Multiplicando la fracción por el término $x^2$

$x^3y=\frac{x^2}{2}+C_0$

Combinar todos los términos en una única fracción con $2$ como común denominador

$x^3y=\frac{x^2+2\cdot C_0}{2}$

Podemos expresar $2\cdot C_0$ como otra constante

$x^3y=\frac{x^2+C_1}{2}$

Dividir ambos lados de la ecuación por $x^3$

$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$

 

Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$

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$y=\frac{x^2+C_1}{2x^3}$

Resolver la ecuación diferencial $x^3\frac{dy}{dx}+3x^2y=x$

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