1
Aquí te presentamos un ejemplo resuelto paso a paso de matrices. Ésta solución fue generada automáticamente por nuestra calculadora inteligente:
∫ 1 ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 d x \int\frac{1}{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2}dx ∫ ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 1 d x
Pasos intermedios
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción 1 ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 \frac{1}{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2} ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 1 4 4 4
1 ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 = A ( x − 1 ) 2 + B ( x + 4 ) 2 + C x − 1 + D x + 4 \frac{1}{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2}=\frac{A}{\left(x-1\right)^2}+\frac{B}{\left(x+4\right)^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+4} ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 1 = ( x − 1 ) 2 A + ( x + 4 ) 2 B + x − 1 C + x + 4 D
Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes A , B , C , D A, B, C, D A , B , C , D ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 \left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2 ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2
1 = ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 ( A ( x − 1 ) 2 + B ( x + 4 ) 2 + C x − 1 + D x + 4 ) 1=\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2\left(\frac{A}{\left(x-1\right)^2}+\frac{B}{\left(x+4\right)^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+4}\right) 1 = ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 ( ( x − 1 ) 2 A + ( x + 4 ) 2 B + x − 1 C + x + 4 D )
1 = ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 A ( x − 1 ) 2 + ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 B ( x + 4 ) 2 + ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 C x − 1 + ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 D x + 4 1=\frac{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2A}{\left(x-1\right)^2}+\frac{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2B}{\left(x+4\right)^2}+\frac{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2C}{x-1}+\frac{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2D}{x+4} 1 = ( x − 1 ) 2 ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 A + ( x + 4 ) 2 ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 B + x − 1 ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 C + x + 4 ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 D
1 = ( x + 4 ) 2 A + ( x − 1 ) 2 B + ( x − 1 ) ( x + 4 ) 2 C + ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) D 1=\left(x+4\right)^2A+\left(x-1\right)^2B+\left(x-1\right)\left(x+4\right)^2C+\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)D 1 = ( x + 4 ) 2 A + ( x − 1 ) 2 B + ( x − 1 ) ( x + 4 ) 2 C + ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) D
Asignando valores a x x x
1 = 25 A ( x = 1 ) 1 = 9 A + 4 B − 18 C + 12 D ( x = − 1 ) 1 = 25 B ( x = − 4 ) 1 = 64 A + 9 B + 192 C + 72 D ( x = 4 ) \begin{matrix}1=25A&\:\:\:\:\:\:\:(x=1) \\ 1=9A+4B-18C+12D&\:\:\:\:\:\:\:(x=-1) \\ 1=25B&\:\:\:\:\:\:\:(x=-4) \\ 1=64A+9B+192C+72D&\:\:\:\:\:\:\:(x=4)\end{matrix} 1 = 25 A 1 = 9 A + 4 B − 18 C + 12 D 1 = 25 B 1 = 64 A + 9 B + 192 C + 72 D ( x = 1 ) ( x = − 1 ) ( x = − 4 ) ( x = 4 )
Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales
25 A + 0 B + 0 C + 0 D = 1 9 A + 4 B − 18 C + 12 D = 1 0 A + 25 B + 0 C + 0 D = 1 64 A + 9 B + 192 C + 72 D = 1 \begin{matrix}25A & + & 0B & + & 0C & + & 0D & =1 \\ 9A & + & 4B & - & 18C & + & 12D & =1 \\ 0A & + & 25B & + & 0C & + & 0D & =1 \\ 64A & + & 9B & + & 192C & + & 72D & =1\end{matrix} 25 A 9 A 0 A 64 A + + + + 0 B 4 B 25 B 9 B + − + + 0 C 18 C 0 C 192 C + + + + 0 D 12 D 0 D 72 D = 1 = 1 = 1 = 1
Reescribimos los coeficientes en forma de matriz
( 25 0 0 0 1 9 4 − 18 12 1 0 25 0 0 1 64 9 192 72 1 ) \left(\begin{matrix}25 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 9 & 4 & -18 & 12 & 1 \\ 0 & 25 & 0 & 0 & 1 \\ 64 & 9 & 192 & 72 & 1\end{matrix}\right) 25 9 0 64 0 4 25 9 0 − 18 0 192 0 12 0 72 1 1 1 1
Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan
( 1 0 0 0 1 25 0 1 0 0 1 25 0 0 1 0 − 2 125 0 0 0 1 2 125 ) \left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{25} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{25} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{2}{125} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{2}{125}\end{matrix}\right) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 25 1 25 1 − 125 2 125 2
La integral de 1 ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 \frac{1}{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2} ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 1
1 25 ( x − 1 ) 2 + 1 25 ( x + 4 ) 2 + − 2 125 ( x − 1 ) + 2 125 ( x + 4 ) \frac{1}{25\left(x-1\right)^2}+\frac{1}{25\left(x+4\right)^2}+\frac{-2}{125\left(x-1\right)}+\frac{2}{125\left(x+4\right)} 25 ( x − 1 ) 2 1 + 25 ( x + 4 ) 2 1 + 125 ( x − 1 ) − 2 + 125 ( x + 4 ) 2
2
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción 1 ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 \frac{1}{\left(x-1\right)^2\left(x+4\right)^2} ( x − 1 ) 2 ( x + 4 ) 2 1 4 4 4
1 25 ( x − 1 ) 2 + 1 25 ( x + 4 ) 2 + − 2 125 ( x − 1 ) + 2 125 ( x + 4 ) \frac{1}{25\left(x-1\right)^2}+\frac{1}{25\left(x+4\right)^2}+\frac{-2}{125\left(x-1\right)}+\frac{2}{125\left(x+4\right)} 25 ( x − 1 ) 2 1 + 25 ( x + 4 ) 2 1 + 125 ( x − 1 ) − 2 + 125 ( x + 4 ) 2
Explicar más este paso
3
Expandir la integral ∫ ( 1 25 ( x − 1 ) 2 + 1 25 ( x + 4 ) 2 + − 2 125 ( x − 1 ) + 2 125 ( x + 4 ) ) d x \int\left(\frac{1}{25\left(x-1\right)^2}+\frac{1}{25\left(x+4\right)^2}+\frac{-2}{125\left(x-1\right)}+\frac{2}{125\left(x+4\right)}\right)dx ∫ ( 25 ( x − 1 ) 2 1 + 25 ( x + 4 ) 2 1 + 125 ( x − 1 ) − 2 + 125 ( x + 4 ) 2 ) d x 4 4 4
∫ 1 25 ( x − 1 ) 2 d x + ∫ 1 25 ( x + 4 ) 2 d x + ∫ − 2 125 ( x − 1 ) d x + ∫ 2 125 ( x + 4 ) d x \int\frac{1}{25\left(x-1\right)^2}dx+\int\frac{1}{25\left(x+4\right)^2}dx+\int\frac{-2}{125\left(x-1\right)}dx+\int\frac{2}{125\left(x+4\right)}dx ∫ 25 ( x − 1 ) 2 1 d x + ∫ 25 ( x + 4 ) 2 1 d x + ∫ 125 ( x − 1 ) − 2 d x + ∫ 125 ( x + 4 ) 2 d x
Pasos intermedios
Sacar el término constante 1 25 \frac{1}{25} 25 1
1 25 ∫ 1 ( x − 1 ) 2 d x \frac{1}{25}\int\frac{1}{\left(x-1\right)^2}dx 25 1 ∫ ( x − 1 ) 2 1 d x
Aplicamos la regla: ∫ n ( x + a ) c d x \int\frac{n}{\left(x+a\right)^c}dx ∫ ( x + a ) c n d x = − n ( c − 1 ) ( x + a ) ( c − 1 ) + C =\frac{-n}{\left(c-1\right)\left(x+a\right)^{\left(c-1\right)}}+C = ( c − 1 ) ( x + a ) ( c − 1 ) − n + C a = − 1 a=-1 a = − 1 c = 2 c=2 c = 2 n = 1 n=1 n = 1
1 25 − 1 ( 2 − 1 ) ( x − 1 ) ( 2 − 1 ) \frac{1}{25}\frac{-1}{\left(2-1\right)\left(x-1\right)^{\left(2-1\right)}} 25 1 ( 2 − 1 ) ( x − 1 ) ( 2 − 1 ) − 1
Simplificamos la expresión
− 1 25 ( x − 1 ) \frac{-1}{25\left(x-1\right)} 25 ( x − 1 ) − 1
4
La integral ∫ 1 25 ( x − 1 ) 2 d x \int\frac{1}{25\left(x-1\right)^2}dx ∫ 25 ( x − 1 ) 2 1 d x − 1 25 ( x − 1 ) \frac{-1}{25\left(x-1\right)} 25 ( x − 1 ) − 1
− 1 25 ( x − 1 ) \frac{-1}{25\left(x-1\right)} 25 ( x − 1 ) − 1
Explicar más este paso
Pasos intermedios
Sacar el término constante 1 25 \frac{1}{25} 25 1
1 25 ∫ 1 ( x + 4 ) 2 d x \frac{1}{25}\int\frac{1}{\left(x+4\right)^2}dx 25 1 ∫ ( x + 4 ) 2 1 d x
Aplicamos la regla: ∫ n ( x + a ) c d x \int\frac{n}{\left(x+a\right)^c}dx ∫ ( x + a ) c n d x = − n ( c − 1 ) ( x + a ) ( c − 1 ) + C =\frac{-n}{\left(c-1\right)\left(x+a\right)^{\left(c-1\right)}}+C = ( c − 1 ) ( x + a ) ( c − 1 ) − n + C a = 4 a=4 a = 4 c = 2 c=2 c = 2 n = 1 n=1 n = 1
1 25 − 1 ( 2 − 1 ) ( x + 4 ) ( 2 − 1 ) \frac{1}{25}\frac{-1}{\left(2-1\right)\left(x+4\right)^{\left(2-1\right)}} 25 1 ( 2 − 1 ) ( x + 4 ) ( 2 − 1 ) − 1
Simplificamos la expresión
− 1 25 ( x + 4 ) \frac{-1}{25\left(x+4\right)} 25 ( x + 4 ) − 1
5
La integral ∫ 1 25 ( x + 4 ) 2 d x \int\frac{1}{25\left(x+4\right)^2}dx ∫ 25 ( x + 4 ) 2 1 d x − 1 25 ( x + 4 ) \frac{-1}{25\left(x+4\right)} 25 ( x + 4 ) − 1
− 1 25 ( x + 4 ) \frac{-1}{25\left(x+4\right)} 25 ( x + 4 ) − 1
Explicar más este paso
Pasos intermedios
Sacar el término constante 1 125 \frac{1}{125} 125 1
1 125 ∫ − 2 x − 1 d x \frac{1}{125}\int\frac{-2}{x-1}dx 125 1 ∫ x − 1 − 2 d x
Aplicamos la regla: ∫ n x + b d x \int\frac{n}{x+b}dx ∫ x + b n d x = n s i g n ( x ) ln ( x + b ) + C =nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C = n s i g n ( x ) ln ( x + b ) + C b = − 1 b=-1 b = − 1 n = − 2 n=-2 n = − 2
− 2 ( 1 125 ) ln ∣ x − 1 ∣ -2\left(\frac{1}{125}\right)\ln\left|x-1\right| − 2 ( 125 1 ) ln ∣ x − 1 ∣
Multiplicar la fracción y el término en − 2 ( 1 125 ) ln ∣ x − 1 ∣ -2\left(\frac{1}{125}\right)\ln\left|x-1\right| − 2 ( 125 1 ) ln ∣ x − 1 ∣
− 2 125 ln ∣ x − 1 ∣ -\frac{2}{125}\ln\left|x-1\right| − 125 2 ln ∣ x − 1 ∣
6
La integral ∫ − 2 125 ( x − 1 ) d x \int\frac{-2}{125\left(x-1\right)}dx ∫ 125 ( x − 1 ) − 2 d x − 2 125 ln ( x − 1 ) -\frac{2}{125}\ln\left(x-1\right) − 125 2 ln ( x − 1 )
− 2 125 ln ( x − 1 ) -\frac{2}{125}\ln\left(x-1\right) − 125 2 ln ( x − 1 )
Explicar más este paso
Pasos intermedios
Sacar el término constante 1 125 \frac{1}{125} 125 1
1 125 ∫ 2 x + 4 d x \frac{1}{125}\int\frac{2}{x+4}dx 125 1 ∫ x + 4 2 d x
Aplicamos la regla: ∫ n x + b d x \int\frac{n}{x+b}dx ∫ x + b n d x = n s i g n ( x ) ln ( x + b ) + C =nsign\left(x\right)\ln\left(x+b\right)+C = n s i g n ( x ) ln ( x + b ) + C b = 4 b=4 b = 4 n = 2 n=2 n = 2
2 ( 1 125 ) ln ∣ x + 4 ∣ 2\left(\frac{1}{125}\right)\ln\left|x+4\right| 2 ( 125 1 ) ln ∣ x + 4 ∣
Multiplicar la fracción y el término en 2 ( 1 125 ) ln ∣ x + 4 ∣ 2\left(\frac{1}{125}\right)\ln\left|x+4\right| 2 ( 125 1 ) ln ∣ x + 4 ∣
2 125 ln ∣ x + 4 ∣ \frac{2}{125}\ln\left|x+4\right| 125 2 ln ∣ x + 4 ∣
7
La integral ∫ 2 125 ( x + 4 ) d x \int\frac{2}{125\left(x+4\right)}dx ∫ 125 ( x + 4 ) 2 d x 2 125 ln ( x + 4 ) \frac{2}{125}\ln\left(x+4\right) 125 2 ln ( x + 4 )
2 125 ln ( x + 4 ) \frac{2}{125}\ln\left(x+4\right) 125 2 ln ( x + 4 )
Explicar más este paso
8
Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos
− 1 25 ( x − 1 ) + − 1 25 ( x + 4 ) − 2 125 ln ∣ x − 1 ∣ + 2 125 ln ∣ x + 4 ∣ \frac{-1}{25\left(x-1\right)}+\frac{-1}{25\left(x+4\right)}-\frac{2}{125}\ln\left|x-1\right|+\frac{2}{125}\ln\left|x+4\right| 25 ( x − 1 ) − 1 + 25 ( x + 4 ) − 1 − 125 2 ln ∣ x − 1 ∣ + 125 2 ln ∣ x + 4 ∣
9
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración C C C
− 1 25 ( x − 1 ) + − 1 25 ( x + 4 ) − 2 125 ln ∣ x − 1 ∣ + 2 125 ln ∣ x + 4 ∣ + C 0 \frac{-1}{25\left(x-1\right)}+\frac{-1}{25\left(x+4\right)}-\frac{2}{125}\ln\left|x-1\right|+\frac{2}{125}\ln\left|x+4\right|+C_0 25 ( x − 1 ) − 1 + 25 ( x + 4 ) − 1 − 125 2 ln ∣ x − 1 ∣ + 125 2 ln ∣ x + 4 ∣ + C 0
Respuesta final al problema
− 1 25 ( x − 1 ) + − 1 25 ( x + 4 ) − 2 125 ln ∣ x − 1 ∣ + 2 125 ln ∣ x + 4 ∣ + C 0 \frac{-1}{25\left(x-1\right)}+\frac{-1}{25\left(x+4\right)}-\frac{2}{125}\ln\left|x-1\right|+\frac{2}{125}\ln\left|x+4\right|+C_0 25 ( x − 1 ) − 1 + 25 ( x + 4 ) − 1 − 125 2 ln ∣ x − 1 ∣ + 125 2 ln ∣ x + 4 ∣ + C 0