Calculadora de Matrices

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{1}{x\left(x^2+x+1\right)}$ en $2$ fracciones más simples

Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B, C$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $x\left(x^2+x+1\right)$

Multiplicando polinomios

Simplificando

Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

La integral de $\frac{1}{x\left(x^2+x+1\right)}$ en forma descompuesta equivale a

La integral del inverso de la variable de integración está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\frac{1}{x}dx=\ln(x)$

Sacar afuera el signo negativo de todos los términos del numerador de la integral

Sumar y restar $\displaystyle\left(\frac{b}{2a}\right)^2$

Factorizar el trinomio cuadrado perfecto $x^2+x+\frac{1}{4}$

Calcular la potencia $\sqrt{\frac{1}{4}}$

Simplificar la suma $\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+1-\frac{1}{4}$

Multiplicar $1$ por $4$

Restar los valores $4$ y $-1$

Podemos resolver la integral $\int\frac{x+1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}dx$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $x+\frac{1}{2}$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

Ahora, para poder reescribir $dx$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

Reescribir $x$ en términos de $u$

Sustituimos $u$, $dx$ y $x$ en la integral y luego simplificamos

Expandir la fracción $\frac{u+\frac{1}{2}}{u^2+\frac{3}{4}}$ en $2$ fracciones más simples con $u^2+\frac{3}{4}$ como denominador en común

Expandir la integral $\int\left(\frac{u}{u^2+\frac{3}{4}}+\frac{\frac{1}{2}}{u^2+\frac{3}{4}}\right)du$ en $2$ integrales usando la regla de la integral de una suma de funciones, para luego resolver cada integral por separado

La integral de una función por una constante ($\frac{1}{2}$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

Multiplicar la fracción y el término en $- \left(\frac{1}{2}\right)\int\frac{1}{u^2+\frac{3}{4}}du$

Factorizar el denominador de la integral por $\frac{3}{4}$

Simplificamos la expresión

Podemos resolver la integral $-\int\frac{u}{u^2+\frac{3}{4}}du$ mediante el método de integración por sustitución trigonométrica. Tomamos el cambio de variable

Ahora, para poder reescribir $d\theta$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

Simplificando

Simplificamos la expresión

La integral de una función por una constante ($3$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

Multiplicar la fracción y el término en $3\left(-\frac{2}{3}\right)\int\frac{1}{3+4u^2}du$

La integral de la tangente de una función es igual a menos el logaritmo natural del coseno de la función, y está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int\tan(x)dx=-\ln(\cos(x))$

Cualquier expresión algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresión

Expresar la variable $\theta$ términos de la variable original $x$

Dividir las fracciones $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{u^2+\frac{3}{4}}}$ multiplicando en cruz: $\frac{a}{b}\div c=\frac{a}{b}\div\frac{c}{1}=\frac{a}{b}\times\frac{1}{c}=\frac{a}{b\cdot c}$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x+\frac{1}{2}$

Resolver la integral aplicando la sustitución $v^2=\frac{4u^2}{3}$. Luego, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados, simplificando nos queda

Ahora, para poder reescribir $du$ en términos de $dv$, necesitamos encontrar la derivada de $v$. Por lo tanto, necesitamos calcular $dv$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

Despejando $du$ de la ecuación anterior

Después de reemplazar todo y simplificar, la integral nos resulta en

Podemos resolver la integral aplicando la fórmula $\displaystyle\int\frac{x'}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)$

Multiplicando la fracción por el término $\arctan\left(v\right)$

Reemplazar $v$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\frac{2u}{\sqrt{3}}$

Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $x+\frac{1}{2}$

Simplificar el producto distribuyendo $2$ hacia ambos términos