Ejemplo resuelto de ecuaciones diferenciales separables
Reescribir la ecuaci贸n diferencial en la forma est谩ndar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
La ecuaci贸n diferencial $3y^2dy-2xdx=0$ es exacta, ya que est谩 escrita en su forma est谩ndar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la funci贸n de dos variables $f(x,y)$ y ambas satisfacen la prueba de exactitud: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. En otras palabras, sus segundas derivadas parciales son iguales. La soluci贸n general de la ecuaci贸n diferencial es de la forma: $f(x,y)=C$
Derivar $M(x,y)$ con respecto a $y$
La derivada de la funci贸n constante ($-2x$) es igual a cero
Derivar $N(x,y)$ con respecto a $x$
La derivada de la funci贸n constante ($3y^2$) es igual a cero
Mediante la prueba de exactitud, comprobamos que la ecuacio贸 diferencial es exacta
La integral de una funci贸n multiplicada por una constante ($-2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la funci贸n
La integral de una potencia est谩 dada por la siguiente f贸rmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un n煤mero o funci贸n constante, en este caso $n=1$
Como $y$ es tratada como una constante, debemos agregar una funci贸n de $y$ como constante de integraci贸n
Integramos $M(x,y)$ con respecto a $x$ para obtener
La derivada de la funci贸n constante ($-x^2$) es igual a cero
La derivada de $g(y)$ es $g'(y)$
Calcular la derivada parcial de $-x^2$ con respecto a $y$ para obtener
Simplificar y despejar $g'(y)$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresi贸n
Reorganizar la ecuaci贸n
Igualamos $3y^2$ y $0+g'(y)$ y luego despejamos $g'(y)$
Integrar ambos lados con respecto a $y$
La integral de una funci贸n multiplicada por una constante ($3$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la funci贸n
La integral de una potencia est谩 dada por la siguiente f贸rmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un n煤mero o funci贸n constante, como $2$
Cualquier expresi贸n algebraica multiplicada por uno es igual a esa misma expresi贸n
Encontrar $g(y)$ integrando a ambos lados
Hemos encontrado nuestra $f(x,y)$ y equivale a
Entonces, la soluci贸n a la ecuaci贸n diferencial es
Agrupar los t茅rminos de la ecuaci贸n
Eliminamos el exponente de la inc贸gnita elevando ambos lados de la ecuaci贸n al exponente $\frac{1}{3}$
Dividir $1$ entre $3$
Simplificar $\sqrt[3]{y^{3}}$ aplicando la regla de potencia de una potencia: $\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$. En la expresi贸n, $m$ es igual a $3$ y $n$ es igual a $\frac{1}{3}$
Multiplicar $3$ por $\frac{1}{3}$
Multiplicar $3$ por $\frac{1}{3}$
Dividir $1$ entre $3$
Encontrar la soluci贸n expl铆cita a la ecuaci贸n diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$
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