Ejemplo resuelto de ecuaciones diferenciales de primer orden
Reescribir la ecuaci贸n diferencial en la forma est谩ndar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
La ecuaci贸n diferencial $4ydy-5x^2dx=0$ es exacta, ya que est谩 escrita en su forma est谩ndar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la funci贸n de dos variables $f(x,y)$ y ambas satisfacen la prueba de exactitud: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. En otras palabras, sus segundas derivadas parciales son iguales. La soluci贸n general de la ecuaci贸n diferencial es de la forma: $f(x,y)=C$
Derivar $M(x,y)$ con respecto a $y$
La derivada de la funci贸n constante ($-5x^2$) es igual a cero
Derivar $N(x,y)$ con respecto a $x$
La derivada de la funci贸n constante ($4y$) es igual a cero
Mediante la prueba de exactitud, comprobamos que la ecuacio贸 diferencial es exacta
La integral de una funci贸n multiplicada por una constante ($-5$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la funci贸n
La integral de una potencia est谩 dada por la siguiente f贸rmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un n煤mero o funci贸n constante, como $2$
Como $y$ es tratada como una constante, debemos agregar una funci贸n de $y$ como constante de integraci贸n
Integramos $M(x,y)$ con respecto a $x$ para obtener
La derivada de la funci贸n constante ($-\frac{5}{3}x^{3}$) es igual a cero
La derivada de $g(y)$ es $g'(y)$
Calcular la derivada parcial de $-\frac{5}{3}x^{3}$ con respecto a $y$ para obtener
Simplificar y despejar $g'(y)$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresi贸n
Reorganizar la ecuaci贸n
Igualamos $4y$ y $0+g'(y)$ y luego despejamos $g'(y)$
Integrar ambos lados con respecto a $y$
La integral de una funci贸n multiplicada por una constante ($4$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la funci贸n
La integral de una potencia est谩 dada por la siguiente f贸rmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un n煤mero o funci贸n constante, en este caso $n=1$
Encontrar $g(y)$ integrando a ambos lados
Hemos encontrado nuestra $f(x,y)$ y equivale a
Entonces, la soluci贸n a la ecuaci贸n diferencial es
Agrupar los t茅rminos de la ecuaci贸n
Dividir ambos lados de la ecuaci贸n por $2$
Simplificando las divisiones
Eliminando el exponente de la inc贸gnita
Cancelar exponentes $2$ y $\frac{1}{2}$
Como en la ecuaci贸n tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones id茅nticas que difieren en el signo del t茅rmino $\sqrt{\frac{C_0+\frac{5}{3}x^{3}}{2}}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo
Combinando todas las soluciones, las $2$ soluciones de la ecuaci贸n son
Encontrar la soluci贸n expl铆cita a la ecuaci贸n diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$
Obt茅n acceso a miles de soluciones a ejercicios paso a paso, 隆y va en aumento cada d铆a!