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Calculadora de Ecuaciones diferenciales de primer orden

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atanh
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Ejemplo resuelto de ecuaciones diferenciales de primer orden

$\frac{dy}{dx}=\frac{5x^2}{4y}$
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Sacar el $\frac{5}{4}$ de la fracción

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{5}{4}x^2}{y}$
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Reescribir la ecuación diferencial en la forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

$ydy-\frac{5}{4}x^2dx=0$
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La ecuación diferencial $ydy-\frac{5}{4}x^2dx=0$ es exacta, ya que está escrita en su forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas satisfacen la prueba de exactitud: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. En otras palabras, sus segundas derivadas parciales son iguales. La solución general de la ecuación diferencial es de la forma: $f(x,y)=C$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{5}{4}x^2}{y}$

Derivar $M(x,y)$ con respecto a $y$

$\frac{d}{dy}\left(-\frac{5}{4}x^2\right)$

La derivada de la función constante ($-\frac{5}{4}x^2$) es igual a cero

0

Derivar $N(x,y)$ con respecto a $x$

$\frac{d}{dx}\left(y\right)$

La derivada de la función constante ($y$) es igual a cero

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Mediante la prueba de exactitud, comprobamos que la ecuacioó diferencial es exacta

$0=0$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-\frac{5}{4}\int x^2dx$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $2$

$-\frac{5}{12}x^{3}$

Como $y$ es tratada como una constante, debemos agregar una función de $y$ como constante de integración

$-\frac{5}{12}x^{3}+g(y)$
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Integramos $M(x,y)$ con respecto a $x$ para obtener

$-\frac{5}{12}x^{3}+g(y)$

La derivada de la función constante ($-\frac{5}{12}x^{3}$) es igual a cero

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La derivada de $g(y)$ es $g'(y)$

$0+g'(y)$
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Calcular la derivada parcial de $-\frac{5}{12}x^{3}$ con respecto a $y$ para obtener

$0+g'(y)$

Simplificar y despejar $g'(y)$

$y=0+g$

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión

$y=g$

Reorganizar la ecuación

$g=y$
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Igualamos $y$ y $0+g'(y)$ y luego despejamos $g'(y)$

$g'(y)=y$

Integrar ambos lados con respecto a $y$

$g=\int ydy$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$

$g=\frac{1}{2}y^2$
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Encontrar $g(y)$ integrando a ambos lados

$g(y)=\frac{1}{2}y^2$
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Hemos encontrado nuestra $f(x,y)$ y equivale a

$f(x,y)=-\frac{5}{12}x^{3}+\frac{1}{2}y^2$
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Entonces, la solución a la ecuación diferencial es

$-\frac{5}{12}x^{3}+\frac{1}{2}y^2=C_0$

Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $-\frac{5}{12}x^{3}$ a ambos miembros de la ecuación

$\frac{1}{2}y^2=C_0+\frac{5}{12}x^{3}$

Eliminar el $\frac{1}{2}$ del lado izquierdo, multiplicando ambos lados de la ecuación por el inverso de $\frac{1}{2}$

$y^2=2\left(C_0+\frac{5}{12}x^{3}\right)$

Eliminando el exponente de la incógnita

$y=\pm \sqrt{2\left(C_0+\frac{5}{12}x^{3}\right)}$

Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\sqrt{2\left(C_0+\frac{5}{12}x^{3}\right)}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo

$y=\sqrt{2\left(C_0+\frac{5}{12}x^{3}\right)},\:y=-\sqrt{2\left(C_0+\frac{5}{12}x^{3}\right)}$

Multiplicar el término $2$ por cada término del polinomio $\left(C_0+\frac{5}{12}x^{3}\right)$

$y=\sqrt{2C_0+\frac{5}{6}x^{3}},\:y=-\sqrt{2\left(C_0+\frac{5}{12}x^{3}\right)}$

Podemos expresar $2C_0$ como otra constante

$y=\sqrt{C_0+\frac{5}{6}x^{3}},\:y=-\sqrt{2\left(C_0+\frac{5}{12}x^{3}\right)}$

Multiplicar el término $2$ por cada término del polinomio $\left(C_0+\frac{5}{12}x^{3}\right)$

$y=\sqrt{C_0+\frac{5}{6}x^{3}},\:y=-\sqrt{2C_0+\frac{5}{6}x^{3}}$
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Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial

$y=\sqrt{C_0+\frac{5}{6}x^{3}},\:y=-\sqrt{2C_0+\frac{5}{6}x^{3}}$

Respuesta Final

$y=\sqrt{C_0+\frac{5}{6}x^{3}},\:y=-\sqrt{2C_0+\frac{5}{6}x^{3}}$

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