Ejemplo resuelto de ecuaciones diferenciales de primer orden
Reescribir la ecuación diferencial en la forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
La ecuación diferencial $4ydy-5x^2dx=0$ es exacta, ya que está escrita en su forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas satisfacen la prueba de exactitud: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. En otras palabras, sus segundas derivadas parciales son iguales. La solución general de la ecuación diferencial es de la forma: $f(x,y)=C$
Derivar $M(x,y)$ con respecto a $y$
La derivada de la función constante ($-5x^2$) es igual a cero
Derivar $N(x,y)$ con respecto a $x$
La derivada de la función constante ($4y$) es igual a cero
Mediante la prueba de exactitud, comprobamos que la ecuacioó diferencial es exacta
La integral de una función multiplicada por una constante ($-5$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $2$
Como $y$ es tratada como una constante, debemos agregar una función de $y$ como constante de integración
Integramos $M(x,y)$ con respecto a $x$ para obtener
La derivada de la función constante ($-\frac{5}{3}x^{3}$) es igual a cero
La derivada de $g(y)$ es $g'(y)$
Calcular la derivada parcial de $-\frac{5}{3}x^{3}$ con respecto a $y$ para obtener
Simplificar y despejar $g'(y)$
$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión
Reorganizar la ecuación
Igualamos $4y$ y $0+g'(y)$ y luego despejamos $g'(y)$
Integrar ambos lados con respecto a $y$
La integral de una función multiplicada por una constante ($4$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$
Encontrar $g(y)$ integrando a ambos lados
Hemos encontrado nuestra $f(x,y)$ y equivale a
Entonces, la solución a la ecuación diferencial es
Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $-\frac{5}{3}x^{3}$ simultáneamente a ambos miembros de la ecuación
Dividir ambos lados de la ecuación por $2$
Simplificando las divisiones
Eliminando el exponente de la incógnita
Cancelar exponentes $2$ y $\frac{1}{2}$
Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\sqrt{\frac{\frac{5}{3}x^{3}+C_0}{2}}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo
Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial
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