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Calculadora de Ecuaciones diferenciales de primer orden

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asinh
acosh
atanh
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asech
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Ejemplo resuelto de ecuaciones diferenciales de primer orden

$\frac{dy}{dx}=\frac{5x^2}{4y}$
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Sacar el $\frac{5}{4}$ de la fracción

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{5}{4}x^2}{y}$
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Agrupar los términos de la ecuación diferencial. Mover los términos de la variable $y$ al lado izquierdo, y los términos de la variable $x$ del lado derecho de la igualdad

$y\cdot dy=\frac{5}{4}x^2dx$
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Integramos ambos lados de la ecuación diferencial, el lado izquierdo con respecto a $y$, y el lado derecho con respecto a $x$

$\int ydy=\int\frac{5}{4}x^2dx$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$

$\frac{1}{2}y^2$
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Resolver la integral $\int ydy$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$\frac{1}{2}y^2=\int\frac{5}{4}x^2dx$

La integral de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$\frac{5}{4}\int x^2dx$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $2$

$\frac{5}{4}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)$

Simplificar la fracción $\frac{5}{4}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)$

$\frac{5}{12}x^{3}$
6

Resolver la integral $\int\frac{5}{4}x^2dx$ y reemplazar el resultado en la ecuación diferencial

$\frac{1}{2}y^2=\frac{5}{12}x^{3}$
7

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{1}{2}y^2=\frac{5}{12}x^{3}+C_0$
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Eliminar el $\frac{1}{2}$ del lado izquierdo, multiplicando ambos lados de la ecuación por $$

$y^2=2\left(\frac{5}{12}x^{3}+C_0\right)$
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Eliminando el exponente de la incógnita

$y=\pm \sqrt{2\left(\frac{5}{12}x^{3}+C_0\right)}$
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Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\sqrt{2\left(\frac{5}{12}x^{3}+C_0\right)}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo

$y=\sqrt{2\left(\frac{5}{12}x^{3}+C_0\right)},\:y=-\sqrt{2\left(\frac{5}{12}x^{3}+C_0\right)}$

Respuesta Final

$y=\sqrt{2\left(\frac{5}{12}x^{3}+C_0\right)},\:y=-\sqrt{2\left(\frac{5}{12}x^{3}+C_0\right)}$

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