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Calculadora de Ecuaciones diferenciales de primer orden

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Ejemplo resuelto de ecuaciones diferenciales de primer orden

$\frac{dy}{dx}=\frac{5x^2}{4y}$
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Reescribir la ecuación diferencial en la forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

$4ydy-5x^2dx=0$
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La ecuación diferencial $4ydy-5x^2dx=0$ es exacta, ya que está escrita en su forma estándar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la función de dos variables $f(x,y)$ y ambas satisfacen la prueba de exactitud: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. En otras palabras, sus segundas derivadas parciales son iguales. La solución general de la ecuación diferencial es de la forma: $f(x,y)=C$

$\frac{dy}{dx}=\frac{5x^2}{4y}$

Derivar $M(x,y)$ con respecto a $y$

$\frac{d}{dy}\left(-5x^2\right)$

La derivada de la función constante ($-5x^2$) es igual a cero

0

Derivar $N(x,y)$ con respecto a $x$

$\frac{d}{dx}\left(4y\right)$

La derivada de la función constante ($4y$) es igual a cero

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Mediante la prueba de exactitud, comprobamos que la ecuacioó diferencial es exacta

$0=0$

La integral de una función multiplicada por una constante ($-5$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-5\int x^2dx$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $2$

$\frac{-5x^{3}}{3}$

Como $y$ es tratada como una constante, debemos agregar una función de $y$ como constante de integración

$\frac{-5x^{3}}{3}+g(y)$
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Integramos $M(x,y)$ con respecto a $x$ para obtener

$\frac{-5x^{3}}{3}+g(y)$

La derivada de la función constante ($\frac{-5x^{3}}{3}$) es igual a cero

0

La derivada de $g(y)$ es $g'(y)$

$0+g'(y)$
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Calcular la derivada parcial de $\frac{-5x^{3}}{3}$ con respecto a $y$ para obtener

$0+g'(y)$

Simplificar y despejar $g'(y)$

$4y=0+g$

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresión

$4y=g$

Reorganizar la ecuación

$g=4y$
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Igualamos $4y$ y $0+g'(y)$ y luego despejamos $g'(y)$

$g'(y)=4y$

Integrar ambos lados con respecto a $y$

$g=\int4ydy$

La integral de una función multiplicada por una constante ($4$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$g=4\int ydy$

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, en este caso $n=1$

$g=2y^2$
8

Encontrar $g(y)$ integrando a ambos lados

$g(y)=2y^2$
9

Hemos encontrado nuestra $f(x,y)$ y equivale a

$f(x,y)=\frac{-5x^{3}}{3}+2y^2$
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Entonces, la solución a la ecuación diferencial es

$\frac{-5x^{3}}{3}+2y^2=C_0$

Combinar todos los términos en una única fracción con $3$ como común denominador

$\frac{-5x^{3}+2\cdot 3y^2}{3}=C_0$

Multiplicar $2$ por $3$

$\frac{-5x^{3}+6y^2}{3}=C_0$

Multiplicar ambos miembros de la ecuación por $3$

$-5x^{3}+6y^2=3C_0$

Podemos expresar $3C_0$ como otra constante

$-5x^{3}+6y^2=C_0$

Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $-5x^{3}$ a ambos miembros de la ecuación

$6y^2=5x^{3}+C_0$

Dividir ambos lados de la ecuación por $6$

$y^2=\frac{5x^{3}+C_0}{6}$

Eliminando el exponente de la incógnita

$y=\pm \sqrt{\frac{5x^{3}+C_0}{6}}$

Aplicando la propiedad de la potencia de un cociente: $\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

$y=\pm \frac{\sqrt{5x^{3}+C_0}}{\sqrt{6}}$

Como en la ecuación tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones idénticas que difieren en el signo del término $\frac{\sqrt{5x^{3}+C_0}}{\sqrt{6}}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo

$y=\frac{\sqrt{5x^{3}+C_0}}{\sqrt{6}},\:y=\frac{-\sqrt{5x^{3}+C_0}}{\sqrt{6}}$
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Encontrar la solución explícita a la ecuación diferencial

$y=\frac{\sqrt{5x^{3}+C_0}}{\sqrt{6}},\:y=\frac{-\sqrt{5x^{3}+C_0}}{\sqrt{6}}$

Respuesta Final

$y=\frac{\sqrt{5x^{3}+C_0}}{\sqrt{6}},\:y=\frac{-\sqrt{5x^{3}+C_0}}{\sqrt{6}}$

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