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Calculadora de Ecuaciones Diferenciales de primer orden

Resuelve tus problemas de matem谩ticas con nuestra calculadora de Ecuaciones Diferenciales de primer orden paso a paso. Mejora tus habilidades en matem谩ticas con nuestra amplia lista de problemas dif铆ciles. Encuentra todas nuestras calculadoras aqu铆.

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Ejemplo resuelto de ecuaciones diferenciales de primer orden

$\frac{dy}{dx}=\frac{5x^2}{4y}$
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Reescribir la ecuaci贸n diferencial en la forma est谩ndar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

$4ydy-5x^2dx=0$
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La ecuaci贸n diferencial $4ydy-5x^2dx=0$ es exacta, ya que est谩 escrita en su forma est谩ndar $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, donde $M(x,y)$ y $N(x,y)$ constituyen las derivadas parciales de la funci贸n de dos variables $f(x,y)$ y ambas satisfacen la prueba de exactitud: $\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$. En otras palabras, sus segundas derivadas parciales son iguales. La soluci贸n general de la ecuaci贸n diferencial es de la forma: $f(x,y)=C$

$4ydy-5x^2dx=0$

Derivar $M(x,y)$ con respecto a $y$

$\frac{d}{dy}\left(-5x^2\right)$

La derivada de la funci贸n constante ($-5x^2$) es igual a cero

0

Derivar $N(x,y)$ con respecto a $x$

$\frac{d}{dx}\left(4y\right)$

La derivada de la funci贸n constante ($4y$) es igual a cero

0
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Mediante la prueba de exactitud, comprobamos que la ecuacio贸 diferencial es exacta

$0=0$

La integral de una funci贸n multiplicada por una constante ($-5$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la funci贸n

$-5\int x^2dx$

La integral de una potencia est谩 dada por la siguiente f贸rmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un n煤mero o funci贸n constante, como $2$

$-\frac{5}{3}x^{3}$

Como $y$ es tratada como una constante, debemos agregar una funci贸n de $y$ como constante de integraci贸n

$-\frac{5}{3}x^{3}+g(y)$
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Integramos $M(x,y)$ con respecto a $x$ para obtener

$-\frac{5}{3}x^{3}+g(y)$

La derivada de la funci贸n constante ($-\frac{5}{3}x^{3}$) es igual a cero

0

La derivada de $g(y)$ es $g'(y)$

$0+g'(y)$
6

Calcular la derivada parcial de $-\frac{5}{3}x^{3}$ con respecto a $y$ para obtener

$0+g'(y)$

Simplificar y despejar $g'(y)$

$4y=0+g$

$x+0=x$, donde $x$ es cualquier expresi贸n

$4y=g$

Reorganizar la ecuaci贸n

$g=4y$
7

Igualamos $4y$ y $0+g'(y)$ y luego despejamos $g'(y)$

$g'(y)=4y$

Integrar ambos lados con respecto a $y$

$g=\int4ydy$

La integral de una funci贸n multiplicada por una constante ($4$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la funci贸n

$g=4\int ydy$

La integral de una potencia est谩 dada por la siguiente f贸rmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un n煤mero o funci贸n constante, en este caso $n=1$

$g=2y^2$
8

Encontrar $g(y)$ integrando a ambos lados

$g(y)=2y^2$
9

Hemos encontrado nuestra $f(x,y)$ y equivale a

$f(x,y)=-\frac{5}{3}x^{3}+2y^2$
10

Entonces, la soluci贸n a la ecuaci贸n diferencial es

$-\frac{5}{3}x^{3}+2y^2=C_0$

Necesitamos aislar la variable dependiente $y$, podemos hacerlo restando $-\frac{5}{3}x^{3}$ simult谩neamente a ambos miembros de la ecuaci贸n

$2y^2=\frac{5}{3}x^{3}+C_0$

Dividir ambos lados de la ecuaci贸n por $2$

$\frac{2y^2}{2}=\frac{\frac{5}{3}x^{3}+C_0}{2}$

Simplificando las divisiones

$y^2=\frac{\frac{5}{3}x^{3}+C_0}{2}$

Eliminando el exponente de la inc贸gnita

$\sqrt{y^2}=\pm \sqrt{\frac{\frac{5}{3}x^{3}+C_0}{2}}$

Cancelar exponentes $2$ y $\frac{1}{2}$

$y=\pm \sqrt{\frac{\frac{5}{3}x^{3}+C_0}{2}}$

Como en la ecuaci贸n tenemos el signo $\pm$, esto nos produce dos ecuaciones id茅nticas que difieren en el signo del t茅rmino $\sqrt{\frac{\frac{5}{3}x^{3}+C_0}{2}}$. Escribimos y resolvemos ambas ecuaciones, una tomando el signo positivo, y la otra tomando el signo negativo

$y=\sqrt{\frac{\frac{5}{3}x^{3}+C_0}{2}},\:y=-\sqrt{\frac{\frac{5}{3}x^{3}+C_0}{2}}$

Combinando todas las soluciones, las $2$ soluciones de la ecuaci贸n son

$y=\sqrt{\frac{\frac{5}{3}x^{3}+C_0}{2}},\:y=-\sqrt{\frac{\frac{5}{3}x^{3}+C_0}{2}}$
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Encontrar la soluci贸n expl铆cita a la ecuaci贸n diferencial. Necesitamos despejar la variable $y$

$y=\sqrt{\frac{\frac{5}{3}x^{3}+C_0}{2}},\:y=-\sqrt{\frac{\frac{5}{3}x^{3}+C_0}{2}}$

Respuesta Final

$y=\sqrt{\frac{\frac{5}{3}x^{3}+C_0}{2}},\:y=-\sqrt{\frac{\frac{5}{3}x^{3}+C_0}{2}}$

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