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Calcular la integral $\int\frac{4x^2+6}{x^3+3x}dx$

Solución Paso a paso

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Solución

Respuesta final al problema

$2\ln\left(x\right)-2\ln\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x^2+3}}\right)+C_0$
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Solución explicada paso por paso

Especifica el método de resolución

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Reescribir la expresión $\frac{4x^2+6}{x^3+3x}$ que está dentro de la integral en forma factorizada

$\int\frac{4x^2+6}{x\left(x^2+3\right)}dx$
2

Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{4x^2+6}{x\left(x^2+3\right)}$ en $2$ fracciones más simples

$\frac{4x^2+6}{x\left(x^2+3\right)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+3}$
3

Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B, C$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $x\left(x^2+3\right)$

$4x^2+6=x\left(x^2+3\right)\left(\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+3}\right)$
4

Multiplicando polinomios

$4x^2+6=\frac{x\left(x^2+3\right)A}{x}+\frac{x\left(x^2+3\right)\left(Bx+C\right)}{x^2+3}$
5

Simplificando

$4x^2+6=\left(x^2+3\right)A+x\left(Bx+C\right)$
6

Asignando valores a $x$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{matrix}6=3A&\:\:\:\:\:\:\:(x=0) \\ 42=12A+9B-3C&\:\:\:\:\:\:\:(x=-3) \\ 42=12A+9B+3C&\:\:\:\:\:\:\:(x=3)\end{matrix}$
7

Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales

$\begin{matrix}3A & + & 0B & + & 0C & =6 \\ 12A & + & 9B & - & 3C & =42 \\ 12A & + & 9B & + & 3C & =42\end{matrix}$
8

Reescribimos los coeficientes en forma de matriz

$\left(\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 6 \\ 12 & 9 & -3 & 42 \\ 12 & 9 & 3 & 42\end{matrix}\right)$
9

Reducimos la matriz original a una matriz identidad utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordan

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{matrix}\right)$
10

La integral de $\frac{4x^2+6}{x\left(x^2+3\right)}$ en forma descompuesta equivale a

$\int\left(\frac{2}{x}+\frac{2x}{x^2+3}\right)dx$
11

Simplificamos la expresión dentro de la integral

$\int\frac{2}{x}dx+2\int\frac{x}{x^2+3}dx$
12

La integral $\int\frac{2}{x}dx$ da como resultado: $2\ln\left(x\right)$

$2\ln\left(x\right)$
13

La integral $2\int\frac{x}{x^2+3}dx$ da como resultado: $-2\ln\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x^2+3}}\right)$

$-2\ln\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x^2+3}}\right)$
14

Después de juntar los resultados de todas las integrales individuales, obtenemos

$2\ln\left(x\right)-2\ln\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x^2+3}}\right)$
15

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$2\ln\left(x\right)-2\ln\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x^2+3}}\right)+C_0$

Respuesta final al problema

$2\ln\left(x\right)-2\ln\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x^2+3}}\right)+C_0$

Explora distintas formas de resolver este problema

Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más

Resolver integral de ((4x^2+6)/(x^3+3x))dx usando fracciones parcialesResolver integral de ((4x^2+6)/(x^3+3x))dx por cambio de variableResolver integral de ((4x^2+6)/(x^3+3x))dx usando integración por partesResolver integral de ((4x^2+6)/(x^3+3x))dx usando sustitución trigonométrica

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Gráfico de la Función

Gráfico de: $2\ln\left(x\right)-2\ln\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x^2+3}}\right)+C_0$

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