Reescribir la expresión $\frac{4x^2+6}{x^3+3x}$ que está dentro de la integral en forma factorizada
$\int\frac{4x^2+6}{x\left(x^2+3\right)}dx$
2
Utilizar el método de descomposición en fracciones parciales para descomponer la fracción $\frac{4x^2+6}{x\left(x^2+3\right)}$ en $2$ fracciones más simples
Necesitamos encontrar los valores de los coeficientes $A, B, C$ para que se cumpla la igualdad. El primer paso es deshacernos del denominador multiplicando ambos lados de la ecuación del paso anterior por $x\left(x^2+3\right)$
La integral de $\frac{4x^2+6}{x\left(x^2+3\right)}$ en forma descompuesta equivale a
$\int\left(\frac{2}{x}+\frac{2x}{x^2+3}\right)dx$
Pasos intermedios
11
Simplificamos la expresión dentro de la integral
$\int\frac{2}{x}dx+2\int\frac{x}{x^2+3}dx$
12
Reescribimos la fracción $\frac{x}{x^2+3}$ dentro de la integral como un producto de dos funciones: $x\frac{1}{x^2+3}$
$\int\frac{2}{x}dx+2\int x\frac{1}{x^2+3}dx$
13
Podemos resolver la integral $\int x\frac{1}{x^2+3}dx$ aplicando el método de integración por partes para calcular la integral del producto de dos funciones, mediante la siguiente fórmula
$\displaystyle\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v \cdot du$
Multiplicar el término $2$ por cada término del polinomio $\left(\frac{\sqrt{3}}{3}x\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)-\frac{\sqrt{3}}{3}\int\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)dx\right)$
La integral $\int\frac{2}{x}dx$ da como resultado: $2\ln\left(x\right)$
$2\ln\left(x\right)$
Pasos intermedios
21
La integral $-\frac{2\sqrt{3}}{3}\int\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)dx$ da como resultado: $-\frac{2\sqrt{3}}{3}x\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+\ln\left(x^2+3\right)$
Reduciendo términos semejantes $\frac{2\sqrt{3}}{3}x\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)$ y $-\frac{2\sqrt{3}}{3}x\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)$
$2\ln\left(x\right)+\ln\left(x^2+3\right)$
24
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
$2\ln\left(x\right)+\ln\left(x^2+3\right)+C_0$
Respuesta final al problema
$2\ln\left(x\right)+\ln\left(x^2+3\right)+C_0$
Explora distintas formas de resolver este problema
Resolver un ejercicio matemático utilizando diferentes métodos es importante porque mejora la comprensión, fomenta el pensamiento crítico, permite múltiples soluciones y desarrolla distintas estrategias de resolución de problemas. Leer más