Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{\sin\left(x\right)-1}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución

Por lo tanto

Sustituyendo en la integral original, obtenemos

Simplificar la división de $2$ entre $-1$

Podemos resolver la integral $\int\frac{-2}{\left(t-1\right)^{2}}dt$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $t-1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

Sustituimos $u$ y $dt$ en la integral y luego simplificamos

Reescribimos el exponente usando la regla de la potenciación $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, donde en este caso $m=0$

La integral de una función multiplicada por una constante ($-2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $-2$

Simplificar la fracción $-2\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right)$

Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$