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Calcular la integral trigonométrica $\int\frac{1}{\sin\left(x\right)-1}dx$

Solución Paso a paso

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Respuesta final al problema

$\frac{2}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)-1}+C_0$
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Solución explicada paso por paso

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Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{\sin\left(x\right)-1}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución

$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
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Por lo tanto

$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\:\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\:\mathrm{y}\:\:dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt$
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Sustituyendo en la integral original, obtenemos

$\int\frac{1}{\frac{2t}{1+t^{2}}-1}\frac{2}{1+t^{2}}dt$
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Simplificando

$\int\frac{2}{2t-\left(1+t^{2}\right)}dt$
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Reescribir la expresión $\frac{2}{2t-\left(1+t^{2}\right)}$ que está dentro de la integral en forma factorizada

$\int\frac{2}{-\left(t-1\right)^{2}}dt$
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Simplificar la división de $2$ entre $-1$

$\int\frac{-2}{\left(t-1\right)^{2}}dt$
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Podemos resolver la integral $\int\frac{-2}{\left(t-1\right)^{2}}dt$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $t-1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato

$u=t-1$
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Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior

$du=dt$
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Sustituimos $u$ y $dt$ en la integral y luego simplificamos

$\int\frac{-2}{u^{2}}du$
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Reescribimos el exponente usando la regla de la potenciación $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, donde en este caso $m=0$

$\int-2u^{-2}du$
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La integral de una función multiplicada por una constante ($-2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función

$-2\int u^{-2}du$
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La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $-2$

$-2\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right)$
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Simplificar la fracción $-2\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right)$

$2u^{-1}$
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Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $t-1$

$2\left(t-1\right)^{-1}$
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Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número

$\frac{2}{t-1}$
16

Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$

$\frac{2}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)-1}$
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Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$

$\frac{2}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)-1}+C_0$

Respuesta final al problema

$\frac{2}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)-1}+C_0$

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Tema Principal: Integrales Trigonométricas

Son aquellas integrales que contienen funciones trigonométricas y sus potencias. Para su mejor comprensión y resolución, se han separado en diferentes casos.

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