Respuesta final al problema
Solución explicada paso por paso
¿Cómo debo resolver este problema?
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- Integrar por fracciones parciales
- Integrar por cambio de variable
- Integrar por partes
- Integrar por método tabular
- Integrar por sustitución trigonométrica
- Integración por Sustitución de Weierstrass
- Integrar usando identidades trigonométricas
- Integrar usando integrales básicas
- Producto de Binomios con Término Común
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Podemos resolver la integral $\int\frac{1}{\sin\left(x\right)-1}dx$ aplicando el método de sustitución de Weierstrass (también conocido como sustitución universal ó sustitución de tangente del ángulo medio) el cual convierte una integral de funciones trigonométricas en una función racional de $t$ usando la sustitución
Por lo tanto
Sustituyendo en la integral original, obtenemos
Combinar $\frac{2t}{1+t^{2}}-1$ en una sola fracción
Multiplicando fracciones $\frac{1}{\frac{2t-\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}} \times \frac{2}{1+t^{2}}$
Dividir las fracciones $\frac{2}{\frac{2t-\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}}\left(1+t^{2}\right)}$ multiplicando en cruz: $a\div \frac{b}{c}=\frac{a}{1}\div\frac{b}{c}=\frac{a}{1}\times\frac{c}{b}=\frac{a\cdot c}{b}$
Simplificar la fracción $\frac{2\left(1+t^{2}\right)}{\left(2t-\left(1+t^{2}\right)\right)\left(1+t^{2}\right)}$ por $1+t^{2}$
Simplificando
Resolver el producto $-\left(1+t^{2}\right)$
El trinomio $2t+1+1t^{2}$ es un trinomio cuadrado perfecto, ya que su discriminante es igual a cero
Utilizamos la relación del trinomio cuadrado perfecto
Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto
Reescribir la expresión $\frac{2}{2t-\left(1+t^{2}\right)}$ que está dentro de la integral en forma factorizada
Simplificar la división de $2$ entre $-1$
Podemos resolver la integral $\int\frac{-2}{\left(t-1\right)^{2}}dt$ aplicando el método de integración por sustitución o cambio de variable. Primero, debemos identificar una sección dentro de la integral con una nueva variable (llamémosla $u$), que al ser sustituida, haga la expresión dentro de la integral más sencilla. Podemos ver que $t-1$ es un buen candidato para ser sustituido. A continuación, definamos la variable $u$ y asignémosle el candidato
Derivar ambos lados de la ecuación $u=t-1$
Encontrar la derivada
La derivada de la suma de dos o más funciones equivale a la suma de las derivadas de cada función por separado
Ahora, para poder reescribir $dt$ en términos de $du$, necesitamos encontrar la derivada de $u$. Por lo tanto, necesitamos calcular $du$, podemos hacerlo derivando la ecuación del paso anterior
Sustituimos $u$ y $dt$ en la integral y luego simplificamos
Reescribimos el exponente usando la regla de la potenciación $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, donde en este caso $m=0$
La integral de una función multiplicada por una constante ($-2$) es igual a la constante multiplicada por la integral de la función
La integral de una potencia está dada por la siguiente fórmula, $\displaystyle\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donde $n$ representa a un número o función constante, como $-2$
Simplificar la fracción $-2\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right)$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $t-1$
Reemplazar $u$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $t-1$
Aplicando la propiedad de la potenciación, $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, donde $n$ es un número
Reemplazar $t$ por el valor que le fue asignado en la sustitución en un principio: $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$
Como la integral que estamos resolviendo es una integral indefinida, al terminar de integrar debemos añadir la constante de integración $C$
